陽関数と陰関数
変数$x_i \quad (i=1 \, , \, \cdots \, , \,n)$と$y$について、
$y = f(x_1 \, , \, \cdots \, , \, x_n)$
のように、変数$x_i$が独立変数、$y$が従属変数という形で、明示されているとき、この関数$f$を「陽関数」と言います。
他方、変数$z_i \quad (i=1 \, , \, \cdots \, , \, n)$について、
$g(z_1 \, , \, \cdots \, , \, z_n) = 0$
のように、従属変数と独立変数の区別がなく、ゼロに写している関数$g$を「陰関数」と言います。
陰関数定理（2変数）
次のような2変数の場合における陰関数を考えます。
$g(x \, , \, y) = 0$
このとき、次が成り立ち、これを「陰関数定理」と言います。
$\dfrac{d y}{d x} = \; – \; \dfrac{g_1}{g_2}$
なお、上記の陰関数について、全微分すれば、この式が得られます。
陰関数定理（多変数）
$n$個の独立変数$x_i \quad (i=1 \, , \, \cdots \, , \, n)$、$m$個の従属変数$y_j \quad (j=1 \, , \, \cdots \, , \, m)$について、次のような陰関数を考えます。
$g_1 (x_1 \, , \, \cdots \, , \, x_n \, , \, y_1 \, , \, \cdots \, , \, y_m) = 0$
$g_2 (x_1 \, , \, \cdots \, , \, x_n \, , \, y_1 \, , \, \cdots \, , \, y_m) = 0$
$\vdots$
$g_m (x_1 \, , \, \cdots \, , \, x_n \, , \, y_1 \, , \, \cdots \, , \, y_m) = 0$
このとき、陰関数定理は、次のようになります。
$\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial y_1}{\partial x_i} \\
\vdots \\
\dfrac{\partial y_m}{\partial x_i} \\
\end{pmatrix}= \; – \; \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial g_1}{\partial y_1} & \cdots & \dfrac{\partial g_1}{\partial y_m} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\dfrac{\partial g_1}{\partial y_m} & \cdots & \dfrac{\partial g_m}{\partial y_m} \\
\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial g_1}{\partial x_i} \\
\vdots \\
\dfrac{\partial g_m}{\partial x_i} \\
\end{pmatrix}$
なお、$i =1 \, , \, \cdots \, , \, n$です。
参考
ピーター・バーク、クヌート・シュドセーテル『エコノミスト数学マニュアル』
西村和雄『経済数学早わかり』