スポンサーリンク
投稿マクロ経済学中級

ハロッド・ドーマー・モデル(数式モデル)

スポンサーリンク
古典的な成長理論の1つであるハロッド・ドーマー・モデルについて、数式で知りたい方のために、数式モデルで解説しています。
スポンサーリンク
スポンサーリンク

概要

 ハロッド・ドーマー・モデル(Harrod-Domer Model)とは、古典的な経済成長モデルの1つです。
 同じ経済成長モデルであるソローモデルなどとは異なり、経済構造が一定の条件を満たしていなければ、安定的な経済成長は実現できないというモデルになっています。

モデル

 本モデルにおいては、生産は資本$ K$と労働力$ L$を用いるものとします。
 このとき、$ t$期の生産量$ Y_t$は、レオンチェフ型の生産関数を仮定し、次のようなものを考えます。

  $ Y_t = min [ K_t , e^{gt} L_t] $

 ここで、$ e^{gt}$は、技術進歩を表し、時間が経つごと($ t$が大きくなるほど)に労働生産性が上がることを示しています。

 これを踏まえ、以下より、資本と労働それぞれを用いた場合の成長率を考えています。

資本について

 まず、資本$ K_t$に関する生産量$ Y_t$の係数として、資本係数$ v$を定義します。

  $ \dfrac{K_t}{Y_t} = v \qquad \cdots \qquad (1)$

 これは、ある生産量を実現するには、一定の資本量が必要であることを示しており、その比率は時間に関係なく一定であることを仮定しています。

 次に、生産したものはすべて所得に回るとし、所得のうち、一定の貯蓄率$ s$で貯蓄するものとします。そうすると、貯蓄額は$ sY_t$となります。そして、その貯蓄は、すべて投資$ I_t$に使われるとすると、

  $ sY_t = I_t \qquad \cdots \qquad (2)$

が成立します。ここで、投資$ I_t$により、資本$ K_t$が増加するので、次式が成立します。

  $ \dot{K} = I_t – \delta K_t \qquad \cdots \qquad (3)$

 ここで、$ \dot{K_t} = d k_t /d t$を表し、単位時間当たりの資本の増加額をです。$ \delta$は資本減耗率で、資本$ K_t$は一定率$ \delta$で減耗する(減る)としています。

 この$ (3)$式について、先ほどの貯蓄と投資の関係式$ (2)$を用いると、

  $ \dot{K} = sY_t – \delta K_t$

となり、更に資本係数の$ (1)$式を用い、$ Y_t$をキャンセルし整理すると、

  $ \dfrac{\dot{K_t}}{K_t} = \dfrac{s}{v} – \delta $

となります。この式は、資本を完全に利用する成長率であり、「保証成長率」($ G_w$)と呼ばれます。

  $ G_w = \dfrac{s}{v} – \delta \qquad \cdots \qquad (4)$

 なお、$ (1)$式から、時間微分すると、$ \dot{K_t} / K_t = \dot{Y_t} / Y_t$が得られ、この保証成長率と同じだけの生産量の増加率となっています。

労働力について

 レオンチェフ型の生産関数なので、労働力だけを生産要素として用いるとすると、

  $ Y_t = e^{gt} L_t$

という式となります。これを時間微分すると、次式が得られます。

  $ \dfrac{\dot{Y_t}}{Y_t} = g + \dfrac{\dot{L_t}}{L_t}$

 ここで、$ \dot{L_t} / L_t$は労働力の増加率ですが、$ n$と一定とすると、

  $ \dfrac{\dot{Y_t}}{Y_t} = g + n$

となります。この成長率は、技術成長と労働力の増加による成長率であり、「自然成長率」($ G_n$)と呼ばれます。

  $ G_n = g + n \qquad \cdots \qquad (5)$

均斉成長

 以上から、資本を完全に利用したときの保証成長率($ G_w$)と、労働を完全に利用したときの自然成長率($ G_n$)の2つの成長率が得られました。

 この2つの成長率をともに満たすとき、資本と労働を完全に利用していることになります。このことから、

  $ G_w = G_n$

が成立する必要があります。資本・労働共に利用しているということで、「均斉成長」と呼ばれ、$ (4)(5)$式を使うと、

  $ \dfrac{s}{v} – \delta = g + n \qquad \cdots \qquad (6)$

が成立するとき、この均斉成長が実現されます。

ナイフ・エッジ

 $ (6)$がうまく成立していれば問題はないのですが、必ずしもそうとは限りません。

 例えば、$ G_w \gt G_n$であり、保証成長率のほうが自然成長率より高いとしましょう。資本を使ったほうが成長率が高いため、労働力は使われなくなり、失業者が出てしまうことになります。

 逆に、$ G_w \lt G_n$であり、自然成長率のほうが保証成長率より高いとしましょう。労働を使ったほうが成長率が高いため、資本は使われなくなり、遊休資産が溢れてしまいます。

 ただ、$ (6)$式が必ずしも成立しているわけではなく、この式が少しでも満たさないと、その差はどんどんと拡大していきます。
この意味で、均斉成長の実現は非常に難しく、「ナイフ・エッジ」と呼ばれています。

 このように、ハロッド・ドーマー・モデルにおいては、資源の完全雇用を伴う経済成長は難しく、経済は不安定であることを示しています。

スポンサーリンク
タイトルとURLをコピーしました