ハロッド・ドーマー・モデル（数式モデル）

古典的な成長理論の1つであるハロッド・ドーマー・モデルについて、数式で知りたい方のために、数式モデルで解説しています。

概要

　ハロッド・ドーマー・モデル（Harrod-Domer Model）とは、古典的な経済成長モデルの1つです。
　同じ経済成長モデルであるソローモデルなどとは異なり、経済構造が一定の条件を満たしていなければ、安定的な経済成長は実現できないというモデルになっています。

モデル

　本モデルにおいては、生産は資本 $K$ と労働力 $L$ を用いるものとします。
　このとき、 $t$ 期の生産量 $Y_t$ は、レオンチェフ型の生産関数を仮定し、次のようなものを考えます。

　　 $Y_t = min [ K_t , e^{gt} L_t]$

　ここで、 $e^{gt}$ は、技術進歩を表し、時間が経つごと（ $t$ が大きくなるほど）に労働生産性が上がることを示しています。

　これを踏まえ、以下より、資本と労働それぞれを用いた場合の成長率を考えています。

資本について

　まず、資本 $K_t$ に関する生産量 $Y_t$ の係数として、資本係数 $v$ を定義します。

　　 $\dfrac{K_t}{Y_t} = v \qquad \cdots \qquad (1)$

　これは、ある生産量を実現するには、一定の資本量が必要であることを示しており、その比率は時間に関係なく一定であることを仮定しています。

　次に、生産したものはすべて所得に回るとし、所得のうち、一定の貯蓄率 $s$ で貯蓄するものとします。そうすると、貯蓄額は $sY_t$ となります。そして、その貯蓄は、すべて投資 $I_t$ に使われるとすると、

　　 $sY_t = I_t \qquad \cdots \qquad (2)$

が成立します。ここで、投資 $I_t$ により、資本 $K_t$ が増加するので、次式が成立します。

　　 $\dot{K} = I_t - \delta K_t \qquad \cdots \qquad (3)$

　ここで、 $\dot{K_t} = d k_t /d t$ を表し、単位時間当たりの資本の増加額をです。 $\delta$ は資本減耗率で、資本 $K_t$ は一定率 $\delta$ で減耗する（減る）としています。

　この $(3)$ 式について、先ほどの貯蓄と投資の関係式 $(2)$ を用いると、

　　 $\dot{K} = sY_t - \delta K_t$

となり、更に資本係数の $(1)$ 式を用い、 $Y_t$ をキャンセルし整理すると、

　　 $\dfrac{\dot{K_t}}{K_t} = \dfrac{s}{v} - \delta$

となります。この式は、資本を完全に利用する成長率であり、「保証成長率」（ $G_w$ ）と呼ばれます。

　　 $G_w = \dfrac{s}{v} - \delta \qquad \cdots \qquad (4)$

　なお、 $(1)$ 式から、時間微分すると、 $\dot{K_t} / K_t = \dot{Y_t} / Y_t$ が得られ、この保証成長率と同じだけの生産量の増加率となっています。

労働力について

　レオンチェフ型の生産関数なので、労働力だけを生産要素として用いるとすると、

　　 $Y_t = e^{gt} L_t$

という式となります。これを時間微分すると、次式が得られます。

　　 $\dfrac{\dot{Y_t}}{Y_t} = g + \dfrac{\dot{L_t}}{L_t}$

　ここで、 $\dot{L_t} / L_t$ は労働力の増加率ですが、 $n$ と一定とすると、

　　 $\dfrac{\dot{Y_t}}{Y_t} = g + n$

となります。この成長率は、技術成長と労働力の増加による成長率であり、「自然成長率」（ $G_n$ ）と呼ばれます。

　　 $G_n = g + n \qquad \cdots \qquad (5)$

均斉成長

　以上から、資本を完全に利用したときの保証成長率（ $G_w$ ）と、労働を完全に利用したときの自然成長率（ $G_n$ ）の2つの成長率が得られました。

　この2つの成長率をともに満たすとき、資本と労働を完全に利用していることになります。このことから、

　　 $G_w = G_n$

が成立する必要があります。資本・労働共に利用しているということで、「均斉成長」と呼ばれ、 $(4)(5)$ 式を使うと、

　　 $\dfrac{s}{v} - \delta = g + n \qquad \cdots \qquad (6)$

が成立するとき、この均斉成長が実現されます。

ナイフ・エッジ

　 $(6)$ がうまく成立していれば問題はないのですが、必ずしもそうとは限りません。

　例えば、 $G_w \textgreater G_n$ であり、保証成長率のほうが自然成長率より高いとしましょう。資本を使ったほうが成長率が高いため、労働力は使われなくなり、失業者が出てしまうことになります。

　逆に、 $G_w \textless G_n$ であり、自然成長率のほうが保証成長率より高いとしましょう。労働を使ったほうが成長率が高いため、資本は使われなくなり、遊休資産が溢れてしまいます。

　ただ、 $(6)$ 式が必ずしも成立しているわけではなく、この式が少しでも満たさないと、その差はどんどんと拡大していきます。
この意味で、均斉成長の実現は非常に難しく、「ナイフ・エッジ」と呼ばれています。

　このように、ハロッド・ドーマー・モデルにおいては、資源の完全雇用を伴う経済成長は難しく、経済は不安定であることを示しています。

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