ハロッド・ドーマー・モデル(数式モデル)

古典的な成長理論の1つであるハロッド・ドーマー・モデルについて、数式で知りたい方のために、数式モデルで解説しています。

概要

 ハロッド・ドーマー・モデル(Harrod-Domer Model)とは、古典的な経済成長モデルの1つです。
 同じ経済成長モデルであるソローモデルなどとは異なり、経済構造が一定の条件を満たしていなければ、安定的な経済成長は実現できないというモデルになっています。

モデル

 本モデルにおいては、生産は資本Kと労働力Lを用いるものとします。
 このとき、t期の生産量Y_tは、レオンチェフ型の生産関数を仮定し、次のようなものを考えます。

  Y_t = min [ K_t , e^{gt} L_t]

 ここで、e^{gt}は、技術進歩を表し、時間が経つごと(tが大きくなるほど)に労働生産性が上がることを示しています。

 これを踏まえ、以下より、資本と労働それぞれを用いた場合の成長率を考えています。

資本について

 まず、資本K_tに関する生産量Y_tの係数として、資本係数vを定義します。

  \dfrac{K_t}{Y_t} = v \qquad \cdots \qquad (1)

 これは、ある生産量を実現するには、一定の資本量が必要であることを示しており、その比率は時間に関係なく一定であることを仮定しています。

 次に、生産したものはすべて所得に回るとし、所得のうち、一定の貯蓄率sで貯蓄するものとします。そうすると、貯蓄額はsY_tとなります。そして、その貯蓄は、すべて投資I_tに使われるとすると、

  sY_t = I_t \qquad \cdots \qquad (2)

が成立します。ここで、投資I_tにより、資本K_tが増加するので、次式が成立します。

  \dot{K} = I_t - \delta K_t \qquad \cdots \qquad (3)

 ここで、\dot{K_t} = d k_t /d tを表し、単位時間当たりの資本の増加額をです。\deltaは資本減耗率で、資本K_tは一定率\deltaで減耗する(減る)としています。

 この(3)式について、先ほどの貯蓄と投資の関係式(2)を用いると、

  \dot{K} = sY_t - \delta K_t

となり、更に資本係数の(1)式を用い、Y_tをキャンセルし整理すると、

  \dfrac{\dot{K_t}}{K_t} = \dfrac{s}{v} - \delta

となります。この式は、資本を完全に利用する成長率であり、「保証成長率」(G_w)と呼ばれます。

  G_w = \dfrac{s}{v} - \delta \qquad \cdots \qquad (4)

 なお、(1)式から、時間微分すると、\dot{K_t} / K_t = \dot{Y_t} / Y_tが得られ、この保証成長率と同じだけの生産量の増加率となっています。

労働力について

 レオンチェフ型の生産関数なので、労働力だけを生産要素として用いるとすると、

  Y_t =  e^{gt} L_t

という式となります。これを時間微分すると、次式が得られます。

  \dfrac{\dot{Y_t}}{Y_t} =  g + \dfrac{\dot{L_t}}{L_t}

 ここで、\dot{L_t} / L_tは労働力の増加率ですが、nと一定とすると、

  \dfrac{\dot{Y_t}}{Y_t} =  g + n

となります。この成長率は、技術成長と労働力の増加による成長率であり、「自然成長率」(G_n)と呼ばれます。

  G_n =  g + n \qquad \cdots \qquad (5)

均斉成長

 以上から、資本を完全に利用したときの保証成長率(G_w)と、労働を完全に利用したときの自然成長率(G_n)の2つの成長率が得られました。

 この2つの成長率をともに満たすとき、資本と労働を完全に利用していることになります。このことから、

  G_w = G_n

が成立する必要があります。資本・労働共に利用しているということで、「均斉成長」と呼ばれ、(4)(5)式を使うと、

  \dfrac{s}{v} - \delta =  g + n \qquad \cdots \qquad (6)

が成立するとき、この均斉成長が実現されます。

ナイフ・エッジ

 (6)がうまく成立していれば問題はないのですが、必ずしもそうとは限りません。

 例えば、G_w \textgreater G_nであり、保証成長率のほうが自然成長率より高いとしましょう。資本を使ったほうが成長率が高いため、労働力は使われなくなり、失業者が出てしまうことになります。

 逆に、G_w \textless G_nであり、自然成長率のほうが保証成長率より高いとしましょう。労働を使ったほうが成長率が高いため、資本は使われなくなり、遊休資産が溢れてしまいます。

 ただ、(6)式が必ずしも成立しているわけではなく、この式が少しでも満たさないと、その差はどんどんと拡大していきます。
この意味で、均斉成長の実現は非常に難しく、「ナイフ・エッジ」と呼ばれています。

 このように、ハロッド・ドーマー・モデルにおいては、資源の完全雇用を伴う経済成長は難しく、経済は不安定であることを示しています。

マクロ経済学
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