ミクロ経済学において、企業は$x$財を生産し、そのときの費用関数を$C(x)$とします。
このとき、平均費用$AC$と限界費用$MC$は、次のようになります。
$AC = \dfrac{C(x)}{x}$
$MC = \dfrac{d C(x)}{d x}$
この二つのものは似ているようですが、平均費用は生産量で費用関数を割ったものです。
限界費用は生産量で費用関数を微分したもので、生産量が1単位増加したときに費用がどれだけ増加するかを示しています。
なお、費用関数が$cx$というような場合には、平均費用と限界費用は一致します。
ところで、平均費用と限界費用の関係は、どのようなものなのかを見てみましょう。
平均費用の変化をみるため、平均費用を$x$で微分すると、
$\dfrac{d AC}{d x} = \dfrac{C'(x)}{x} \; – \; \dfrac{C(x)}{x^2}$
となり、式を整理すると、次のようになります。
$\dfrac{d AC}{d x} = \dfrac{C'(x) \; – \; C(x)}{x^2} = \dfrac{MC \; – \; AC}{x}$
この式から、次のことが分かります。
$MC < AC$のとき、$\dfrac{d AC}{d x} < 0$（平均費用曲線は右下がり）
$MC = AC$のとき、$\dfrac{d AC}{d x} = 0$（平均費用曲線は水平）
$MC > AC$のとき、$\dfrac{d AC}{d x} > 0$（平均費用曲線は右上がり）
特に、平均費用曲線はU字の形状をすることから、その最小点では限界費用と平均費用が一致することになります。
すなわち、平均費用曲線の最小点で限界費用は通過するということになります。
参考
奥野正寛（編著）『ミクロ経済学』