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ハミルトニアンの公式

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はじめに

 ラムゼーモデルなどで使われるハミルトニアンについて、公式を整理しました。

ハミルトニアン(離散型)

動学問題

 まずは、次のような動学問題を考えるとします。

  \displaystyle \max \sum^{\infty}_{t=0} F(t,y,u)dt

  s.t. y(t+1) - y(t) = f(t,y,u)
     y(0)=A

 ここで、u は操作変数、y は状態変数です。
 また、A は任意の定数で、状態変数 y の初期値となっています。

ハミルトニアン

 このとき、

  H(t,y,u,\lambda) = F(t,y,u) + \lambda(t) f(t,y,u)

のようなハミルトニアンを定義することができます。

  \displaystyle \max_u H(t,y,u,\lambda)

最大値原理

 ハミルトニアンを最大化するための条件としては、次のようになります。

  \dfrac{\partial H}{\partial u} = 0

  y(t+1) - y(t) = \dfrac{\partial H}{\partial \lambda}

  \lambda(t) - \lambda(t-1) = - \dfrac{\partial H}{\partial y}

  \displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} y(t) \lambda(t) = 0

ハミルトニアン(連続型)

動学問題

 まずは、次のような動学問題を考えるとします。

  \displaystyle \max \int^{\infty}_{0} F(t,y,u)dt

  s.t. \dot{y} = f(t,y,u)
     y(0)=A

 ここで、u は操作変数、y は状態変数です。
 また、A は任意の定数で、状態変数 y の初期値となっています。

ハミルトニアン

 このとき、

  H(t,y,u,\lambda) = F(t,y,u) + \lambda(t) f(t,y,u)

のようなハミルトニアンを定義することができます。

  \displaystyle \max_u H(t,y,u,\lambda)

最大値原理

 ハミルトニアンを最大化するための条件としては、次のようになります。

  \dfrac{\partial H}{\partial u} = 0

  \dot{y} = \dfrac{\partial H}{\partial \lambda}

  \dot{\lambda} = - \dfrac{\partial H}{\partial y}

  \displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} y(t) \lambda(t) = 0

参考

 Alpha C. Chiang『Elements of Dynamic Optimization
 西村清彦『経済学のための最適化理論入門

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経済数学
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