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ハミルトニアンの公式

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投稿経済数学中級
経済学における動学で使われるハミルトニアンの公式について、整理しました。
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はじめに

 ラムゼーモデルなどで使われるハミルトニアンについて、公式を整理しました。

ハミルトニアン(離散型)

動学問題

 まずは、次のような動学問題を考えるとします。

  $ \displaystyle \max \sum^{\infty}_{t=0} F(t,y,u)dt$

  s.t. $ y(t+1) – y(t) = f(t,y,u)$
     $ y(0)=A $

 ここで、$ u$ は操作変数、$ y$ は状態変数です。
 また、$ A$ は任意の定数で、状態変数 $ y$ の初期値となっています。

ハミルトニアン

 このとき、

  $ H(t,y,u,\lambda) = F(t,y,u) + \lambda(t) f(t,y,u)$

のようなハミルトニアンを定義することができます。

  $ \displaystyle \max_u H(t,y,u,\lambda)$

最大値原理

 ハミルトニアンを最大化するための条件としては、次のようになります。

  $ \dfrac{\partial H}{\partial u} = 0$

  $ y(t+1) – y(t) = \dfrac{\partial H}{\partial \lambda}$

  $ \lambda(t) – \lambda(t-1) = – \dfrac{\partial H}{\partial y}$

  $ \displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} y(t) \lambda(t) = 0$

ハミルトニアン(連続型)

動学問題

 まずは、次のような動学問題を考えるとします。

  $ \displaystyle \max \int^{\infty}_{0} F(t,y,u)dt$

  s.t. $ \dot{y} = f(t,y,u)$
     $ y(0)=A $

 ここで、$ u$ は操作変数、$ y$ は状態変数です。
 また、$ A$ は任意の定数で、状態変数 $ y$ の初期値となっています。

ハミルトニアン

 このとき、

  $ H(t,y,u,\lambda) = F(t,y,u) + \lambda(t) f(t,y,u)$

のようなハミルトニアンを定義することができます。

  $ \displaystyle \max_u H(t,y,u,\lambda)$

最大値原理

 ハミルトニアンを最大化するための条件としては、次のようになります。

  $ \dfrac{\partial H}{\partial u} = 0$

  $ \dot{y} = \dfrac{\partial H}{\partial \lambda}$

  $ \dot{\lambda} = – \dfrac{\partial H}{\partial y}$

  $ \displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} y(t) \lambda(t) = 0$

参考

 Alpha C. Chiang『Elements of Dynamic Optimization
 西村清彦『経済学のための最適化理論入門

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