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ハミルトニアンの公式

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はじめに

　ラムゼーモデルなどで使われるハミルトニアンについて、公式を整理しました。

ハミルトニアン（離散型）

動学問題

　まずは、次のような動学問題を考えるとします。

　　 $\displaystyle \max \sum^{\infty}_{t=0} F(t,y,u)dt$

　　s.t.　 $y(t+1) - y(t) = f(t,y,u)$
　　　　 $y(0)=A$

　ここで、 $u$ は操作変数、 $y$ は状態変数です。
　また、 $A$ は任意の定数で、状態変数 $y$ の初期値となっています。

ハミルトニアン

　このとき、

　　 $H(t,y,u,\lambda) = F(t,y,u) + \lambda(t) f(t,y,u)$

のようなハミルトニアンを定義することができます。

　　 $\displaystyle \max_u H(t,y,u,\lambda)$

最大値原理

　ハミルトニアンを最大化するための条件としては、次のようになります。

　　 $\dfrac{\partial H}{\partial u} = 0$

　　 $y(t+1) - y(t) = \dfrac{\partial H}{\partial \lambda}$

　　 $\lambda(t) - \lambda(t-1) = - \dfrac{\partial H}{\partial y}$

　　 $\displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} y(t) \lambda(t) = 0$

ハミルトニアン（連続型）

動学問題

　まずは、次のような動学問題を考えるとします。

　　 $\displaystyle \max \int^{\infty}_{0} F(t,y,u)dt$

　　s.t.　 $\dot{y} = f(t,y,u)$
　　　　 $y(0)=A$

　ここで、 $u$ は操作変数、 $y$ は状態変数です。
　また、 $A$ は任意の定数で、状態変数 $y$ の初期値となっています。

ハミルトニアン

　このとき、

　　 $H(t,y,u,\lambda) = F(t,y,u) + \lambda(t) f(t,y,u)$

のようなハミルトニアンを定義することができます。

　　 $\displaystyle \max_u H(t,y,u,\lambda)$

最大値原理

　ハミルトニアンを最大化するための条件としては、次のようになります。

　　 $\dfrac{\partial H}{\partial u} = 0$

　　 $\dot{y} = \dfrac{\partial H}{\partial \lambda}$

　　 $\dot{\lambda} = - \dfrac{\partial H}{\partial y}$

　　 $\displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} y(t) \lambda(t) = 0$

参考

　Alpha C. Chiang『Elements of Dynamic Optimization』
　西村清彦『経済学のための最適化理論入門』

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