ハミルトニアンの公式

はじめに

　ラムゼーモデルなどで使われるハミルトニアンについて、公式を整理しました。

　まずは、次のような動学問題を考えるとします。

　　$ \displaystyle \max \sum^{\infty}_{t=0} F(t,y,u)dt$

　　s.t.　$ y(t+1) – y(t) = f(t,y,u)$
　　　　 $ y(0)=A $

　ここで、$ u$ は操作変数、$ y$ は状態変数です。
　また、$ A$ は任意の定数で、状態変数 $ y$ の初期値となっています。

　このとき、

　　$ H(t,y,u,\lambda) = F(t,y,u) + \lambda(t) f(t,y,u)$

のようなハミルトニアンを定義することができます。

　　$ \displaystyle \max_u H(t,y,u,\lambda)$

　ハミルトニアンを最大化するための条件としては、次のようになります。

　　$ \dfrac{\partial H}{\partial u} = 0$

　　$ y(t+1) – y(t) = \dfrac{\partial H}{\partial \lambda}$

　　$ \lambda(t) – \lambda(t-1) = – \dfrac{\partial H}{\partial y}$

　　$ \displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} y(t) \lambda(t) = 0$

　まずは、次のような動学問題を考えるとします。

　　$ \displaystyle \max \int^{\infty}_{0} F(t,y,u)dt$

　　s.t.　$ \dot{y} = f(t,y,u)$
　　　　 $ y(0)=A $