ベイズの定理
ベイズの定理とは、$n$個の事象$B_i$があり、$\Omega$を標本空間としたとき、
・事象$B_1 \, , \, B_2 \, , \, \cdots \, , \, B_n$は互いに排反 （$B_i \cap B_j = \phi \; (i \neq j)$）
・$B_1 \, \cup \, B_2 \, \cup \, \cdots \, \cup \, B_n = \Omega$
であるとき、任意の事象$A$について、
$P(B_i \, | \, A) = \dfrac{P(A \, | \, B_i) P(B_i)}{P(A)} \quad \cdots \quad (1)$
$= \dfrac{P(A \, | \, B_i) P(B_i)}{\displaystyle \sum_{j=1}^n P(A \, | \, B_j) P(B_j)} \quad \cdots \quad (2)$
が成り立つというものです。
なお、$(1)$と$(2)$では、分母の部分が異なっています。
証明
(1)の証明
条件つき確率の定義から、
$P(B_i \, | \, A) = \dfrac{P(A \cap B_i)}{P(A)}$
であり、分子に乗法公式を使うと、
$P(B_i \, | \, A) = \dfrac{P(A \cap B_i)}{P(A)} = \dfrac{P(A \, | \, B_i) P(B_i)}{P(A)}$
となり、$(1)$式を得ることができます。
なお、条件つき確率の定義や乗法公式については、「条件つき確率とは」を参考にしてください。
(2)の証明
$(1)$式と$(2)$において、分子は同じなので、分母について、次が成立していることを証明すればいいことになります。
$P(A) = \displaystyle \sum_{j=1}^n P(A \, | \, B_j) P(B_j) \quad \cdots \quad (3)$
まずは、事象$B_i$について、$B_1 \, \cup \, \cdots \, \cup \, B_n = \Omega$と$B_i \cap B_j = \phi$という仮定に注意すると、
$A = A \cap \Omega = A \cap (B_1 \, \cup \, \cdots \, \cup \, B_n) = (A \cap B_1) \cup \, \cdots \, \cup (A \cap B_n)$
$(A \cap B_i) \cap (A \cap B_j) = \phi \; (i \neq j)$
を得ることができます。
この式から、乗法公式を考慮すると、
$P(A) = P(A \cap B_1) + \, \cdots \, + P(A \cap B_n) = P(A \, | \, B_1) P(B_1) + \, \cdots \, + P(A \, | \, B_n) P(B_n)$
$= \displaystyle \sum_{j=1}^n P(A \, | \, B_j) P(B_j)$
となり、$(3)$式が成り立っていることから、$(2)$式も成立していることが分かります。
参考
中村隆英『統計入門』