有限
和
$1 + 2 +3 + \quad \cdots \quad + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$
等差級数の和
$n$項まであり、公差を$d$とすると、等比級数の和は、次の通り。
$\displaystyle a + (a + d) + (a + 2d) + \quad \cdots \quad + (a + (n \; – \; 1)d) = \sum_{i=0}^{n-1} (a + id) = \dfrac{1}{2}(2na + n(n \; – \; 1)d )$
（例）$1 + 3 + 5$の場合
$n=3$、$a=1$、$d=2$なので、
$1 + 3 + 5 = \dfrac{1}{2}(2 \times 3 \times 1 + 3 \times 2 \times 2)$
等比級数の和
$a + a k + a k^2 + \quad \cdots \quad + a k^n = a \dfrac{1 \; – \; k^{n+1}}{1 \; – \; k} \quad (k \neq 1)$
無限
無限等比級数の和
$a + a k + a k^2 + \quad \cdots = \dfrac{a}{1 \; – \; k} \quad (| \, k \, < 1)$
（例）$5 + 5 \cdot (0.1) + 5 \cdot (0.1)^2 + 5 \cdot (0.1)^3 + \quad \cdots \quad $の場合
$a=5$、$k=0.1$なので、
$5 + 5 \cdot (0.1) + 5 \cdot (0.1)^2 + 5 \cdot (0.1)^3 + \quad \cdots = \dfrac{5}{1 \; – \; 0.1} = \dfrac{50}{9}$
無限級数の収束
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1$ならば、$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$は収束する
その他
$e^x = 1 + \dfrac{x}{1 !} + \dfrac{x^2}{2 !} + \dfrac{x^3}{3 !} + \quad \cdots$
$\ln (1+x) = x \; – \; \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} \; – \; \dfrac{x^4}{4} + \quad \cdots$
$\displaystyle (1 + x)^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 + \quad \cdots$
参考
ピーター・バーク、クヌート・シュドセーテル『エコノミスト数学マニュアル』