$x$財と$y$財を消費する個人がおり、その個人の効用関数は
$\displaystyle u = \dfrac{1}{9} x^2 y$
となっているとする。
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【問題1】
$x$財・$y$財の価格を$p_x$・$p_y$としたとき、補償需要関数を求めよ。
【回答1】
この個人は、一定の効用のもと、予算を$E$とすると、
$E = p_x x + p_y y$
が最小となるような$x$財と$y$財を選択するという費用最小化問題を解くことになる。
効用関数の式から、
$y = 9 u x^{-2}$
であることから、これを予算式に代入し、$y$を消去すると、次式が得られる。
$E = p_x x + 9 u p_y x^{-2}$
この式が最小になるように、$x$財を考えると、
$\displaystyle \dfrac{d E}{d x} = p_x – 18 u p_y x^{-3} = 0$
が得られ、$x$について、整理すると、
$x = 2^{1/3} 3^{2/3} u^{1/3} p_x^{-1/3} p_y^{1/3}$
という$x$財の補償需要関数を得ることができる。
この式から、$y$財の式に代入し、$X$をキャンセルすると、
$y = 9 u [2^{1/3} 3^{2/3} u^{1/3} p_x^{-1/3} p_y^{1/3}]^{-2}$
から
$y = 2^{-2/3} 3^{2/3} u^{1/3} p_x^{2/3} p_y^{-2/3}$
という$y$財の補償需要関数を得ることができる。
【問題2】
この場合の補償所得関数(支出関数)を求めよ。
【回答2】
$x$財と$y$財のそれぞれの補償需要関数を予算式に代入すると、
$E = p_x \cdot 2^{1/3} 3^{2/3} u^{1/3} p_x^{-1/3} p_y^{1/3} + p_y \cdot 2^{-2/3} 3^{2/3} u^{1/3} p_x^{2/3} p_y^{-2/3}$
となり、これを整理すると、
$E = (2^{1/3} + 2^{-2/3} ) 3^{2/3} u^{1/3} p_x^{2/3} p_y^{1/3}$
という補償所得関数を得ることができる。
ちょっと、結果の数字がキレイでなくても、すみません。