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投稿ミクロ経済学初級

補償需要と補償所得についての問題

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補償需要と補償所得についての問題を掲載しています。
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 $x$財と$y$財を消費する個人がおり、その個人の効用関数は

  $\displaystyle u = \dfrac{1}{9} x^2 y$

となっているとする。

※「▶」をクリックすると、回答を見ることができます。

【問題1】
 $x$財・$y$財の価格を$p_x$・$p_y$としたとき、補償需要関数を求めよ。

【回答1】 

 この個人は、一定の効用のもと、予算を$E$とすると、

  $E = p_x x + p_y y$

が最小となるような$x$財と$y$財を選択するという費用最小化問題を解くことになる。

 効用関数の式から、

  $y = 9 u x^{-2}$

であることから、これを予算式に代入し、$y$を消去すると、次式が得られる。

  $E = p_x x + 9 u p_y x^{-2}$

 この式が最小になるように、$x$財を考えると、

  $\displaystyle \dfrac{d E}{d x} = p_x – 18 u p_y x^{-3} = 0$

が得られ、$x$について、整理すると、

  $x = 2^{1/3} 3^{2/3} u^{1/3} p_x^{-1/3} p_y^{1/3}$

という$x$財の補償需要関数を得ることができる。

 この式から、$y$財の式に代入し、$X$をキャンセルすると、

  $y = 9 u [2^{1/3} 3^{2/3} u^{1/3} p_x^{-1/3} p_y^{1/3}]^{-2}$

から

  $y = 2^{-2/3} 3^{2/3} u^{1/3} p_x^{2/3} p_y^{-2/3}$

という$y$財の補償需要関数を得ることができる。

【問題2】
 この場合の補償所得関数(支出関数)を求めよ。

【回答2】 

 $x$財と$y$財のそれぞれの補償需要関数を予算式に代入すると、

  $E = p_x \cdot 2^{1/3} 3^{2/3} u^{1/3} p_x^{-1/3} p_y^{1/3} + p_y \cdot 2^{-2/3} 3^{2/3} u^{1/3} p_x^{2/3} p_y^{-2/3}$

となり、これを整理すると、

  $E = (2^{1/3} + 2^{-2/3} ) 3^{2/3} u^{1/3} p_x^{2/3} p_y^{1/3}$

という補償所得関数を得ることができる。

 ちょっと、結果の数字がキレイでなくても、すみません。

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