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補償需要と補償所得についての問題

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投稿ミクロ経済学初級
ミクロ経済学の補償需要と補償所得についての問題を掲載しています。
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 $x$財と$y$財を消費する個人がおり、その個人の効用関数は

  $\displaystyle u = \dfrac{1}{9} x^2 y$

となっているとする。

※「▶」をクリックすると、回答を見ることができます。

【問題1】
 $x$財・$y$財の価格を$p_x$・$p_y$としたとき、補償需要関数を求めよ。

【回答1】 

 この個人は、一定の効用のもと、予算を$E$とすると、

  $E = p_x x + p_y y$

が最小となるような$x$財と$y$財を選択するという費用最小化問題を解くことになる。

 効用関数の式から、

  $y = 9 u x^{-2}$

であることから、これを予算式に代入し、$y$を消去すると、次式が得られる。

  $E = p_x x + 9 u p_y x^{-2}$

 この式が最小になるように、$x$財を考えると、

  $\displaystyle \dfrac{d E}{d x} = p_x – 18 u p_y x^{-3} = 0$

が得られ、$x$について、整理すると、

  $x = 2^{1/3} 3^{2/3} u^{1/3} p_x^{-1/3} p_y^{1/3}$

という$x$財の補償需要関数を得ることができる。

 この式から、$y$財の式に代入し、$X$をキャンセルすると、

  $y = 9 u [2^{1/3} 3^{2/3} u^{1/3} p_x^{-1/3} p_y^{1/3}]^{-2}$

から

  $y = 2^{-2/3} 3^{2/3} u^{1/3} p_x^{2/3} p_y^{-2/3}$

という$y$財の補償需要関数を得ることができる。

【問題2】
 この場合の補償所得関数(支出関数)を求めよ。

【回答2】 

 $x$財と$y$財のそれぞれの補償需要関数を予算式に代入すると、

  $E = p_x \cdot 2^{1/3} 3^{2/3} u^{1/3} p_x^{-1/3} p_y^{1/3} + p_y \cdot 2^{-2/3} 3^{2/3} u^{1/3} p_x^{2/3} p_y^{-2/3}$

となり、これを整理すると、

  $E = (2^{1/3} + 2^{-2/3} ) 3^{2/3} u^{1/3} p_x^{2/3} p_y^{1/3}$

という補償所得関数を得ることができる。

 ちょっと、結果の数字がキレイでなくても、すみません。

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