はじめに
集団が意思決定するとき、多数決は、1つの選択肢を選ぶ方法として、一般的に行われていると思います。
選挙は勿論、複数の人が集まったときに、何か1つに決定するときには、多数決は一般的な方法です。
しかし、多数決が必ずしも、個々人の意思を反映した形になるものではなく、むしろ矛盾が生じるとしたのが、コンドルセのパラドックスになります。
コンドルセのパラドックス
3人の個人がおり、3つの選択肢Ａ、Ｂ、Ｃがあるものとします。
そして、それぞれの個人は、次のような選好順序を有しているものとします。
個人１：Ａ＞Ｂ＞Ｃ
個人２：Ｃ＞Ａ＞Ｂ
個人３：Ｂ＞Ｃ＞Ａ
このとき、3つの選択肢のうち、2つずつ選び、勝ち抜き戦をやって、3人の個人が望む1つの選択肢を選ぶとしましょう（この方法を「コンドルセ法」と言います）。
（パターン１）
まずは、ＡとＢを多数決で決めるとします。上記の選好順序から
Ａ：個人１と個人２の2名
Ｂ：個人３の1名
なので、選択肢Ａが選ばれます。
次に、選ばれたＡとＣを多数決で決めます。
Ａ：個人１の1名
Ｃ：個人２と個人３の2名
Ｃのほうが多数決では勝つので、Ｃが選ばれます。
このことから、最初にＡとＢを選ぶ方法では、最終的には選択肢Ｃが選ばれます。
（パターン２）
まずは、ＡとＣを多数決で決めるとします。上記の選好順序から
Ａ：個人１の1名
Ｃ：個人２と個人３の2名
なので、選択肢Ｃが選ばれます。
次に、選ばれたＣとＢを多数決で決めます。
Ｂ：個人１と個人３の2名
Ｃ：個人２の1名
Ｂのほうが多数決では勝つので、Ｃが選ばれます。
このことから、最初にＡとＣを選ぶ方法では、最終的には選択肢Ｂが選ばれます。
以上のように、パターン１では選択肢Ｃが、パターン２では選択肢Ｂが選ばれ、最初の選択にあたり、その選択肢を変えるだけで、結論が変わってしまいます。
このように矛盾が生じ、これを「コンドルセのパラドックス」と言います。
コンドルセ勝者
上記のように、選択肢を総当たりしていきますが、どの順序を変えたとしても、必ず選ばれる選択肢があるならば、それを「コンドルセ勝者」と言います。
ただ、上記のコンドルセのパラドックスにあるように、必ずしも、多数決においてコンドルセ勝者が得られるわけではありません。
しかし、人々が選択肢に対して単蜂な選好をもつ場合には、中位投票者の選好に合致した選好がコンドルセ勝者になることが知られています。
そしてこれを「中位投票者定理」と言います。
参考
林正義・小川光・別所俊一郎『公共経済学』