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短期・長期の費用関数に関する問題

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投稿ミクロ経済学初級
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 ある企業は、次のような短期費用関数のもと、資本$K$を用いて、財$Y$を生産しているとします。

  $C = 8 Y^3 K^{-2} + 4K$

 なお、資本は短期においては変更できず、長期において調整可能だとします。

※「▶」をクリックすると、回答を見ることができます。

【問題1】
 資本が$K=2$であり、財$Y$の価格が$24$であるとき、この企業はどれだけ生産を行いますか?

【回答1】 

 資本が$K=2$なので、短期費用関数は、次のようになり、

  $C= 2 Y^3 + 8$

 価格が24であることから、利潤$\pi$は、

  $\pi = 24 Y \; – \; 2 Y^3 \; – \; 8$

となります。

 企業は利潤最大化を行うので、

  $\dfrac{d \pi}{d Y} = 24 \; – \; 6 Y^2 = 0$

から、次のようになります。

  $Y = 2$

【問題2】
 生産量が$Y = 2$のとき、長期における最適な資本量はどうなりますか?

【回答2】 

 長期においては、短期費用関数において、資本$K$も調整可能になるので、

  $\dfrac{d C}{d K} = \; – \; 16 Y^3 K^{-3} + 4 = 0$

から、

  $K = 4 Y$

となります。

【問題3】
 このとき、長期費用関数はどうなりますか?

【回答3】 

 短期費用関数に、問題2の$K=4Y$を代入すると、

  $C = 8 Y^3 (4Y)^{-2} + 4(4Y) = \dfrac{9}{2}Y$

となり、長期費用関数を得ることができます。

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