ある企業は、次のような短期費用関数のもと、資本$K$を用いて、財$Y$を生産しているとします。
$C = 8 Y^3 K^{-2} + 4K$
なお、資本は短期においては変更できず、長期において調整可能だとします。
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【問題１】
資本が$K=2$であり、財$Y$の価格が$24$であるとき、この企業はどれだけ生産を行いますか？
【回答１】
資本が$K=2$なので、短期費用関数は、次のようになり、
$C= 2 Y^3 + 8$
価格が24であることから、利潤$\pi$は、
$\pi = 24 Y \; – \; 2 Y^3 \; – \; 8$
となります。
企業は利潤最大化を行うので、
$\dfrac{d \pi}{d Y} = 24 \; – \; 6 Y^2 = 0$
から、次のようになります。
$Y = 2$
【問題２】
生産量が$Y = 2$のとき、長期における最適な資本量はどうなりますか？
【回答２】
長期においては、短期費用関数において、資本$K$も調整可能になるので、
$\dfrac{d C}{d K} = \; – \; 16 Y^3 K^{-3} + 4 = 0$
から、
$K = 4 Y$
となります。
【問題３】
このとき、長期費用関数はどうなりますか？
【回答３】
短期費用関数に、問題２の$K=4Y$を代入すると、
$C = 8 Y^3 (4Y)^{-2} + 4(4Y) = \dfrac{9}{2}Y$
となり、長期費用関数を得ることができます。