双対性アプローチについて整理しました

はじめに

　ミクロ経済学を学んでいると、需要関数が出てきて、さらに似たような補償需要関数などというものが出てきたりします。
　本によっては、前者をマーシャルの需要関数、後者をヒックスの需要関数と呼んだりもしており、とにかくややこしいと感じることが多いのではないでしょうか。

　更に、スルツキー方程式では、両方が出てきたりして、頓挫してしまうということもあるでしょう。

　そこで、証明などの細かな話は別として、対比・関係などを中心に、説明したいと思います。

　ミクロ経済学で、消費者行動を考えるとき、消費者がとるべき行動として、次の2つの方法が挙げられます。

　　「効用を最大化する」（効用最大化）

　　「支出を最小化する」（費用最小化）

　似たような話ですが、若干、結論が異なってくるので、この2つを比較したり、この2つの関係を検討するのが、「双対性アプローチ」です。

　2財 $x_1 , x_2$ について、価格を $p_1 , p_2$ と、効用を $U(x_1 , x_2)$ 、所得を $m$ とします。
　そして、消費者の2つの行動について、問題やその解などを整理すると、次のようになります。

	効用最大化	費用最小化
行動	効用を最大化する	費用を最小化する
問題	$\displaystyle \max_{x_1,x_2} U(x_1 , x_2)$ 　 $s.t. \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$	$\displaystyle \min_{x_1,x_2} p_1 x_1 + p_2 x_2$ 　 $s.t. \quad U(x_1 , x_2) = \bar{u}$
需要（解）	需要関数（マーシャルの需要関数）　 $x_1 = D_1(p_1 , p_2 , m)$ 　 $x_2 = D_2(p_1 , p_2 , m)$	補償需要関数（ヒックスの需要関数）　 $x_1 = D_1^u(p_1 , p_2 , \bar{u})$ 　 $x_2 = D_2^u(p_1 , p_2 , \bar{u})$
効用（解）	間接効用関数　 $v = V(p_1, p_2 , m)$	－
所得（解）	－	補償所得関数　 $c=E(p_1 , p_2 , \bar{u})$

　上記のように比較したとき、需要関数と補償需要関数の関係などはどうなるかが気になります。

　上記の表で、「－」として、解がない部分があります。そこに、解を入れてやれば、効用最大化と費用最大化は一致することにになります。

　そこで、需要について、整理すると、次のような表になります。

条件	結果
所得と補償所得関数が一致するとき　 $m = E(p_1 , p_2 , \bar{u})$	需要関数と補償需要関数が一致する　 $D_1(p_1 , p_2 , E(p_1 , p_2 , \bar{u})) = D_1^u(p_1 , p_2 , \bar{u})$ 　 $D_2(p_1 , p_2 , E(p_1 , p_2 , \bar{u})) = D_2^u(p_1 , p_2 , \bar{u})$
効用と間接効用関数が一致するとき　 $\bar{u} = V(p_1, p_2 , m)$	需要関数と補償需要関数が一致する　 $D_1(p_1 , p_2 , E(p_1 , p_2 , m) = D_1^u(p_1 , p_2 , V(p_1, p_2 , m))$ 　 $D_2(p_1 , p_2 , E(p_1 , p_2 , m)) = D_2^u(p_1 , p_2 , V(p_1, p_2 , m))$