クールノー・ゲームに見る共謀の効果

はじめに

　クールノー・ゲーム（クールノー寡占市場）では、各企業は他の企業の生産量を踏まえて、企業の利潤最大化を行います。
　この場合には、企業の利潤は、独占よりも多くなりますが、完全競争よりも少なくなることが知られています。

　ところで、クールノー・ゲームにおいて、企業が共謀した場合はどうなるでしょうか。

　企業1・企業2の2社で財が供給されている状態を考えましょう（この場合には、厳密には寡占というより複占ですが）。
　それぞれの企業の供給量を$x_1 \, , \, x_2$とし、財の価格を$p$とします。

　このとき、各企業は次の逆需要関数に直面している場合を考えます。各企業は自社の供給量が価格に対して影響を持つことを知っており、同時に他社の供給量も価格に影響を持っていることも知っている状態です。

　　$p = a \; – \; b (x_1 + x_2)$

　この逆需要関数のもと、単位費用を$c$とすると、各企業の利潤$pi_i$は、次のようになります。

　　$pi_i = p x_i \; – \; c x_i = (a \; – \; b (x_1 + x_2)) x_i \; – \; c x_i \quad (i = 1 \, , \, 2)$

　企業1・企業2それぞれが利潤を最大化すると、

　　$\dfrac{d \pi_1}{d x_1} = a \; – \; 2b x_1 \; – \; b x_2 \; – \; c = 0$

　　$\dfrac{d \pi_2}{d x_2} = a \; – \; 2b x_2 \; – \; b x_1 \; – \; c = 0$

であり、それぞれの企業の最適反応関数は、次のようになります。

　　$x_1 = \dfrac{a \; – \; b x_2 \; – \; c}{2b}$

　　$x_2 = \dfrac{a \; – \; b x_1 \; – \; c}{2b}$

　費用関数について、この2社は同じなので、供給量も等しくなることから、$x_1 = x_2$が成り立つので、各企業の供給量は次のようになります。

　　$x_1^* = x_2^* = \dfrac{a \; – \; c}{3b}$

　そして、市場全体の供給量は

　　$x_1^* + x_2^* = \dfrac{2(a \; – \; c)}{3b}$

であり、価格と利潤は、次のようになります。

　　$p^* = \dfrac{a + 2c}{3}$

　　$\pi_1^* = \pi_2^* = \dfrac{(a \; – \; c)^2}{9b}$

　企業1・企業2が共謀した場合には、企業は独占的に行動して、それを2社で分けることが考えられます。

　共謀した場合の利潤を$\pi$、供給量を$x (= x_1 + _x2)$とすると、

　　$pi = p x \; – \; c x = (a \; – \; b x) x \; – \; c x$

という利潤を最大化することになり、供給量は次のようになります。

　　$x^* = \dfrac{a \; – \; c}{2b}$

　企業1・企業2はこの供給量を分け合うことになるので、

　　$x_1^* = x_2^* = \dfrac{a \; – \; c}{4b}$

となります。

　そして、価格とそれぞれの企業の利潤は、次のようになります。

　　$p = \dfrac{a + c}{2}$

　　$\pi_1^* = \pi_2^* = \dfrac{(a \; – \; c)^2}{8b}$

　以上を踏まえて、共謀がない場合と共謀がある場合を比較しましょう。
　上記から、次のような表にまとめることができます。

　共謀をした場合のほうが、各企業の利潤・価格は上がり、供給量は低下することが分かります。

　これにより、企業にとっては、共謀して、独占的に行動してその利益を山分けすることが望ましいことになります。

　　奥野正寛（編著）『ミクロ経済学』