予算制約下の効用最大化の解き方(計算例・数値例で解説)

ミクロ経済学において、最初のほうに出てくるのが、予算制約下の効用最大化というテーマです。ただ、抽象的な数式だけではイメージがつきにくい部分があります。そこで、計算例・数値例を示しながら、その解き方を説明したいと思います。

概要

 予算制約下の効用最大化とは、ある消費者が一定の予算のもと、自己の効用を最大化するように、それぞれの財の消費量を決定することです。

 ミクロ経済学においては、最初に出てくる基本的なテーマなのですが、初級者にはイメージがつきにくい部分があるかと思います。そこで、本稿では、数値例を示して、その解き方を説明したいと思います。

解き方

 予算制約下の効用最大化について、3つの計算例・数値例で紹介したいと思います。

 例題として、次のような問題があるとします。

 効用関数をu=xyとし、財xの価格が2、財yの価格が3、所得が20のとき、財xと財yの需要量を求めたいとします。

 数式で表すと、次のような問題になります。

  \max \quad u=xy \qquad \cdots \qquad (1)
  s.t \quad 2x+3y=20 \qquad \cdots \qquad (2)

 このときの計算方法としては、次の3つがあります。

計算例1

 単純に数式を代入して、計算する方法です。
 まず、(2)式を変形すると、x=15-3/2 yとなるので、これを(1)式に代入します。

  u=15y - \dfrac{3}{2}y^2

 これをyで微分すると、

  \dfrac{\partial u}{\partial y}=15 - 3y = 0

なので、y=5となります。そしてこの値を(2)式に入れて計算すると、x=7.5が得られます。

計算例2

 限界代替率を使った方法です。
 効用最大化の条件として、限界代替率と2財の価格は等しいというものがあります。

  \dfrac{\partial u / \partial x}{\partial u / \partial y} = \dfrac{p_x}{p_y}

 この式を使うと、まずは次のような式が得られます。

  \dfrac{y}{x} = \dfrac{2}{3}

 この式を変形すると、y=2/3 xとなるので、(2)式に代入し計算すると、x=7.5となります。そしてこの値を(2)式に代入すると、y=5が求められます。

計算例3

 ラグランジュの未定乗数法を使う方法です。
 (1)(2)式から、次のようなラグランジュ関数Lが定義できます。

  L = xy + \lambda(30 - 2x - 3y)

 この式を、xy\lambdaで微分すると、次の3つの式が得られます。

  \dfrac{\partial L}{\partial x} = y -  2 \lambda = 0

  \dfrac{\partial L}{\partial y} = x -  3 \lambda = 0

  \dfrac{\partial L}{\partial \lambda} = 30 - 2x - 3y = 0

 そして、まずは\lambdaを消去すると、x - 3 /2 y = 0が得られます。
 後は、計算例2と同じように、(2)式を使うと、x=7.5y=5となります。

まとめ

 初級者にとっては、計算例1のように、予算制約式を効用関数に代入して、数式を解いていくというのが分かりやすいと思います。ただこの方法は、u=xyというように、効用関数が特定されていないと使えません。

 ですので、より経済学を学んでいくには、計算例2・計算例3の方法は覚えておく必要があります。

 特に、計算例3のラグランジュの未定乗数法は、ミクロ経済学だけではなく、マクロ経済学など様々なところで出てきます。一見すると、難しいようですが、ちょっとしたラグランジュ関数という式を作るだけなので、是非とも覚えておいたほうがいいでしょう。

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