予算制約下の効用最大化の解き方（計算例・数値例で解説）

ミクロ経済学において、最初のほうに出てくるのが、予算制約下の効用最大化というテーマです。ただ、抽象的な数式だけではイメージがつきにくい部分があります。そこで、計算例・数値例を示しながら、その解き方を説明したいと思います。

概要

　予算制約下の効用最大化とは、ある消費者が一定の予算のもと、自己の効用を最大化するように、それぞれの財の消費量を決定することです。

　ミクロ経済学においては、最初に出てくる基本的なテーマなのですが、初級者にはイメージがつきにくい部分があるかと思います。そこで、本稿では、数値例を示して、その解き方を説明したいと思います。

解き方

　予算制約下の効用最大化について、3つの計算例・数値例で紹介したいと思います。

　例題として、次のような問題があるとします。

　効用関数を $u=xy$ とし、財 $x$ の価格が $2$ 、財 $y$ の価格が $3$ 、所得が $20$ のとき、財 $x$ と財 $y$ の需要量を求めたいとします。

　数式で表すと、次のような問題になります。

　　 $\max \quad u=xy \qquad \cdots \qquad (1)$
　　 $s.t \quad 2x+3y=20 \qquad \cdots \qquad (2)$

　このときの計算方法としては、次の3つがあります。

計算例1

　単純に数式を代入して、計算する方法です。
　まず、 $(2)$ 式を変形すると、 $x=15-3/2 y$ となるので、これを $(1)$ 式に代入します。

　　 $u=15y - \dfrac{3}{2}y^2$

　これを $y$ で微分すると、

　　 $\dfrac{\partial u}{\partial y}=15 - 3y = 0$

なので、 $y=5$ となります。そしてこの値を $(2)$ 式に入れて計算すると、 $x=7.5$ が得られます。

計算例2

　限界代替率を使った方法です。
　効用最大化の条件として、限界代替率と2財の価格は等しいというものがあります。

　　 $\dfrac{\partial u / \partial x}{\partial u / \partial y} = \dfrac{p_x}{p_y}$

　この式を使うと、まずは次のような式が得られます。

　　 $\dfrac{y}{x} = \dfrac{2}{3}$

　この式を変形すると、 $y=2/3 x$ となるので、 $(2)$ 式に代入し計算すると、 $x=7.5$ となります。そしてこの値を $(2)$ 式に代入すると、 $y=5$ が求められます。

計算例3

　ラグランジュの未定乗数法を使う方法です。
　 $(1)(2)$ 式から、次のようなラグランジュ関数 $L$ が定義できます。

　　 $L = xy + \lambda(30 - 2x - 3y)$

　この式を、 $x$ 、 $y$ 、 $\lambda$ で微分すると、次の3つの式が得られます。

　　 $\dfrac{\partial L}{\partial x} = y - 2 \lambda = 0$

　　 $\dfrac{\partial L}{\partial y} = x - 3 \lambda = 0$

　　 $\dfrac{\partial L}{\partial \lambda} = 30 - 2x - 3y = 0$

　そして、まずは $\lambda$ を消去すると、 $x - 3 /2 y = 0$ が得られます。
　後は、計算例2と同じように、 $(2)$ 式を使うと、 $x=7.5$ と $y=5$ となります。

まとめ

　初級者にとっては、計算例1のように、予算制約式を効用関数に代入して、数式を解いていくというのが分かりやすいと思います。ただこの方法は、 $u=xy$ というように、効用関数が特定されていないと使えません。

　ですので、より経済学を学んでいくには、計算例2・計算例3の方法は覚えておく必要があります。

　特に、計算例3のラグランジュの未定乗数法は、ミクロ経済学だけではなく、マクロ経済学など様々なところで出てきます。一見すると、難しいようですが、ちょっとしたラグランジュ関数という式を作るだけなので、是非とも覚えておいたほうがいいでしょう。

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