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投稿ミクロ経済学初級

予算制約下の効用最大化の解き方(計算例・数値例で解説)

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ミクロ経済学において、最初のほうに出てくるのが、予算制約下の効用最大化というテーマです。ただ、抽象的な数式だけではイメージがつきにくい部分があります。そこで、計算例・数値例を示しながら、その解き方を説明したいと思います。
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概要

 予算制約下の効用最大化とは、ある消費者が一定の予算のもと、自己の効用を最大化するように、それぞれの財の消費量を決定することです。

 ミクロ経済学においては、最初に出てくる基本的なテーマなのですが、初級者にはイメージがつきにくい部分があるかと思います。そこで、本稿では、数値例を示して、その解き方を説明したいと思います。

解き方

 予算制約下の効用最大化について、3つの計算例・数値例で紹介したいと思います。

 例題として、次のような問題があるとします。

 効用関数を$ u=xy$とし、財$ x$の価格が$ 2$、財$ y$の価格が$ 3$、所得が$ 20$のとき、財$ x$と財$ y$の需要量を求めたいとします。

 数式で表すと、次のような問題になります。

  $ \max \quad u=xy \qquad \cdots \qquad (1)$
  $ s.t \quad 2x+3y=20 \qquad \cdots \qquad (2)$

 このときの計算方法としては、次の3つがあります。

計算例1

 単純に数式を代入して、計算する方法です。
 まず、$ (2)$式を変形すると、$ x=15-3/2 y$となるので、これを$ (1)$式に代入します。

  $ u=15y – \dfrac{3}{2}y^2$

 これを$ y$で微分すると、

  $ \dfrac{\partial u}{\partial y}=15 – 3y = 0$

なので、$ y=5$となります。そしてこの値を$ (2)$式に入れて計算すると、$ x=7.5$が得られます。

計算例2

 限界代替率を使った方法です。
 効用最大化の条件として、限界代替率と2財の価格は等しいというものがあります。

  $ \dfrac{\partial u / \partial x}{\partial u / \partial y} = \dfrac{p_x}{p_y}$

 この式を使うと、まずは次のような式が得られます。

  $ \dfrac{y}{x} = \dfrac{2}{3}$

 この式を変形すると、$ y=2/3 x$となるので、$ (2)$式に代入し計算すると、$ x=7.5$となります。そしてこの値を$ (2)$式に代入すると、$ y=5$が求められます。

計算例3

 ラグランジュの未定乗数法を使う方法です。
 $ (1)(2)$式から、次のようなラグランジュ関数$ L$が定義できます。

  $ L = xy + \lambda(30 – 2x – 3y)$

 この式を、$ x$、$ y$、$ \lambda$で微分すると、次の3つの式が得られます。

  $ \dfrac{\partial L}{\partial x} = y – 2 \lambda = 0$

  $ \dfrac{\partial L}{\partial y} = x – 3 \lambda = 0$

  $ \dfrac{\partial L}{\partial \lambda} = 30 – 2x – 3y = 0$

 そして、まずは$ \lambda$を消去すると、$ x – 3 /2 y = 0$が得られます。
 後は、計算例2と同じように、$ (2)$式を使うと、$ x=7.5$と$ y=5$となります。

まとめ

 初級者にとっては、計算例1のように、予算制約式を効用関数に代入して、数式を解いていくというのが分かりやすいと思います。ただこの方法は、$ u=xy$というように、効用関数が特定されていないと使えません。

 ですので、より経済学を学んでいくには、計算例2・計算例3の方法は覚えておく必要があります。

 特に、計算例3のラグランジュの未定乗数法は、ミクロ経済学だけではなく、マクロ経済学など様々なところで出てきます。一見すると、難しいようですが、ちょっとしたラグランジュ関数という式を作るだけなので、是非とも覚えておいたほうがいいでしょう。

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