ある企業が、二つの生産要素を$K ,\ , \, L$を用いて、次のような生産関数のもと、生産を行うものとします。
$f(K ,\ , \, L) = 3 K^{2/3} L^{1/3}$
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【問題１】
二つの生産要素について、それぞれの限界生産力はどうなりますか。
【回答１】
限界生産力は、生産関数を生産要素で微分したものなので、$K \, , \, L$それぞれの限界生産力は、次のようになります。
$f_K = \dfrac{\partial f(K \, , \, L)}{\partial K} = 2 K^{-1/3} L^{1/3}$
$f_L = \dfrac{\partial f(K \, , \, L)}{\partial L} = K^{2/3} L^{-2/3}$
【問題２】
二つの生産要素の限界代替率$MRS$は、どうなりますか。
【回答２】
限界代替率$MRS$は、限界生産力の比となるので、
$MRS = \dfrac{f_K}{f_L} = 2 \dfrac{L}{K}$
となります。
【問題３】
生産要素$K$の価格を$r = 2$、生産要素$L$の価格を$w =1$とし、企業が費用最小化を図るとします。
このとき、生産量を$Y$としたとき、それぞれの生産要素の需要量はどうなりますか。
【回答３】
企業が費用最小化を図るとき、限界代替率と要素需要の価格比が一致し、
$MRS = \dfrac{r}{w}$
という式が成立するので、上記の値を代入すると、
$2 \dfrac{L}{K} = \dfrac{2}{1}$ ⇒ $K = L$
となります。
これを生産関数に代入すると、次のようにそれぞれの生産要素の需要量を得ることができます。
$K = L = \dfrac{Y}{3}$
【問題４】
上記のとき、費用関数はどうなりますか。
【回答４】
費用関数$C$は$r K + w L$で与えられるので
$c = 2 K + L = Y$
となります。