ある企業が資本$K$と労働力$L$を用いて、生産を行うものとして、次のような生産関数を考えます。
$y = 2 \sqrt{K} \sqrt{L}$
なお、市場は競争的であり、企業はプライステーカーとして行動するものとします。
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【問題１】
短期的な生産を考え、資本は固定的で$K = 4$とします。
生産物の市場価格が$10$、賃金が$5$のとき、この企業の最適な労働量はどれだけになりますか。
【回答１】
生産物の価格を$p$、資本コストを$r$、賃金を$w$としたとき、企業の利潤関数$\pi$は、次のようになります。
$\pi = p \cdot 2 \sqrt{K} \sqrt{L} \; – \; r K \; – \; w L$
この式に、$K = 4$、$p = 10$、$w = 5$を代入すると、
$\pi = 40 \sqrt{L} \; – \; 4 r \; – \; 5 L$
となります。これを労働力$L$で微分し、ゼロとすると、
$\dfrac{\partial \pi}{\partial L} = \dfrac{20}{\sqrt{L}} \; – \; 5 = 0$
となり、計算すると、
$L = 16$
であり、この企業の最適な労働量は$16$となります。
【問題２】
資本コストが$2$であるとき、利潤最大化をしたこの企業の利潤はどうなりますか。
【回答２】
$r=2$であり、上記の企業の利潤関数$\pi$に、数値を代入すると、
$\pi = 10 \cdot 2 \sqrt{4} \sqrt{16} \; – \; 2 \times 4 \; – \; 5 \times 16 = 160 \; – \; 8 \; – \; 80 = 74$
となります。