マッケンジーの補題
マッケンジーの補題とは、文章でいうと、
「補償所得関数を価格で偏微分すると、補償需要関数が得られる」
というものです。
数式で表すならば、2財$ x_i (i = 1, 2)$について、価格を$ p_i (i = 1, 2)$とし、効用を$ u$、補償所得関数を$ E(p_1 , p_2 , u)$、補償需要関数を$ D^u_i(p_1 , p_2 , u)$とすると、
$ \displaystyle \dfrac{\partial E(p_1 , p_2 , u)}{\partial p_i} = D^u_i(p_1 , p_2 , u) \quad \cdots \quad (1)$
というものです。
導出方法
導出にあたり、改めて費用最小化問題を考えます。
$ \displaystyle \min_{x_1 , x_2} p_1 x_1 + p_2 x_2$
$ s.t. \quad u(x_1 , x_2) = \bar{u}$
これをラグランジュ乗数$ \lambda$を使って、1階の条件を求めると、
$ \displaystyle p_i = \lambda \dfrac{\partial u(x_1 , x_2)}{\partial x_i} \quad \cdots \quad (2)$
$ u(x_1 , x_2) = \bar{u} \quad \cdots \quad (3)$
が得られ、補償需要関数$ D^u_i(p_1 , p_2 , u)$、補償所得関数$ E(p_1 , p_2 , u)$が得られます。
ここで、補償所得関数においては、次のようになっています。
$ E(p_1 , p_2 , u) = p_1 D^u_1(p_1 , p_2 , u) + p_2 D^u_2(p_1 , p_2 , u)$
これを全微分すると、
$ \displaystyle \dfrac{\partial E}{\partial p_1} d p_1 + \dfrac{\partial E}{\partial p_2} d p_2 + \dfrac{\partial E}{\partial u} d u = D^u_1 d p_1 + D^u_2 d p_2 + p_1 d D^u_1 + p_2 d D^u_2 \quad \cdots \quad (4)$
となります。
ここで、右辺第3項・第4項（$ p_1 d D^u_1 + p_2 d D^u_2$）に着目します。
$ (2)$式を使うと、
$ \displaystyle p_1 d D^u_1 + p_2 d D^u_2 = \lambda \dfrac{\partial u}{\partial x_1} d D^u_1 + \lambda \dfrac{\partial u}{\partial x_2} d D^u_2 = \lambda \left( \dfrac{\partial u}{\partial x_1} d D^u_1 + \dfrac{\partial u}{\partial x_2} d D^u_2 \right)$
となり、
$ \displaystyle p_1 d D^u_1 + p_2 d D^u_2 = \lambda du \quad \cdots \quad (5)$
が得られます。
以上から、$ du=0 , dp_i=0(i \neq j)$として、$ (5)$式を$ (4)$に代入すると、
$ \displaystyle \dfrac{\partial E(p_1 , p_2 , u)}{\partial p_i} d p_i = D^u_i(p_1 , p_2 , u) d p_i$
となり、$ d p_i$をキャンセルすると、
$ \displaystyle \dfrac{\partial E(p_1 , p_2 , u)}{\partial p_i} = D^u_i(p_1 , p_2 , u)$
というマッケンジーの補題が導出できます。
例
効用関数を特定化した場合に、マッケンジーの補題が成立していることを見てみましょう。
効用関数を$ u=2xy$としたとき、費用最小化問題は、次のようになります。
$ \displaystyle \min_{x,y} p_x x + p_y y$
$ s.t. \quad u = 2xy$
これを解くと、補償需要関数は、それぞれ次のようになります（解き方は、省略します）。
$ x = \sqrt{2^{-1} p_x^{-1} p_y u}$
$ y = \sqrt{2^{-1} p_x p_y^{-1} u}$
そして、これを用いると、補償所得関数（支出関数は）$ c$は、次のようになります。
$ c= p_x x + p_y y = p_x \sqrt{2^{-1} p_x^{-1} p_y u} + p_y \sqrt{2^{-1} p_x p_y^{-1} u} = \sqrt{2 p_x p_y u}$
この補償所得関数について、価格でそれぞれ偏微分すると、
$ \displaystyle \dfrac{\partial c}{\partial p_x} = \sqrt{2^{-1} p_x^{-1} p_y u}$
$ \displaystyle \dfrac{\partial c}{\partial p_y} = \sqrt{2^{-1} p_x p_y^{-1} u}$
となり、いずれも補償需要関数となっていることが分かります。
すなわち、$ (1)$式のマッケンジーの補題が成立していることが分かります。
参考
武隈愼一『ミクロ経済学』
西村和雄『ミクロ経済学』