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投稿ミクロ経済学中級

マッケンジーの補題について(例つき)

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ミクロ経済学におけるマッケンジーの補題について、例を含めて、説明します。
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マッケンジーの補題

 マッケンジーの補題とは、文章でいうと、

  「補償所得関数を価格で偏微分すると、補償需要関数が得られる」

というものです。

 数式で表すならば、2財x_i (i = 1, 2)について、価格をp_i (i = 1, 2)とし、効用をu、補償所得関数をE(p_1 , p_2 , u)、補償需要関数をD^u_i(p_1 , p_2 , u)とすると、

  \displaystyle \dfrac{\partial E(p_1 , p_2 , u)}{\partial p_i} = D^u_i(p_1 , p_2 , u) \quad \cdots \quad (1)

というものです。

導出方法

 導出にあたり、改めて費用最小化問題を考えます。

  \displaystyle \min_{x_1 , x_2} p_1 x_1 + p_2 x_2
  s.t. \quad u(x_1 , x_2) = \bar{u}

 これをラグランジュ乗数\lambdaを使って、1階の条件を求めると、

  \displaystyle p_i = \lambda \dfrac{\partial u(x_1 , x_2)}{\partial x_i} \quad \cdots \quad (2)
  u(x_1 , x_2) = \bar{u} \quad \cdots \quad (3)

が得られ、補償需要関数D^u_i(p_1 , p_2 , u)、補償所得関数E(p_1 , p_2 , u)が得られます。

 ここで、補償所得関数においては、次のようになっています。

  E(p_1 , p_2 , u) = p_1 D^u_1(p_1 , p_2 , u) + p_2 D^u_2(p_1 , p_2 , u)

 これを全微分すると、

  \displaystyle \dfrac{\partial E}{\partial p_1} d p_1 + \dfrac{\partial E}{\partial p_2} d p_2 + \dfrac{\partial E}{\partial u} d u = D^u_1 d p_1 + D^u_2 d p_2 + p_1 d D^u_1 + p_2 d D^u_2 \quad \cdots \quad (4)

となります。

 ここで、右辺第3項・第4項(p_1 d D^u_1 + p_2 d D^u_2)に着目します。
 (2)式を使うと、

  \displaystyle p_1 d D^u_1 + p_2 d D^u_2 =  \lambda \dfrac{\partial u}{\partial x_1} d D^u_1 +  \lambda \dfrac{\partial u}{\partial x_2} d D^u_2 = \lambda \left( \dfrac{\partial u}{\partial x_1} d D^u_1 + \dfrac{\partial u}{\partial x_2} d D^u_2 \right)

となり、

  \displaystyle p_1 d D^u_1 + p_2 d D^u_2 =  \lambda du \quad \cdots \quad (5)

が得られます。

 以上から、du=0 , dp_i=0(i \neq j)として、(5)式を(4)に代入すると、

  \displaystyle \dfrac{\partial E(p_1 , p_2 , u)}{\partial p_i} d p_i = D^u_i(p_1 , p_2 , u) d p_i

となり、d p_iをキャンセルすると、

  \displaystyle \dfrac{\partial E(p_1 , p_2 , u)}{\partial p_i} = D^u_i(p_1 , p_2 , u)

というマッケンジーの補題が導出できます。

 効用関数を特定化した場合に、マッケンジーの補題が成立していることを見てみましょう。

 効用関数をu=2xyとしたとき、費用最小化問題は、次のようになります。

  \displaystyle \min_{x,y} p_x x + p_y y
  s.t. \quad u = 2xy

 これを解くと、補償需要関数は、それぞれ次のようになります(解き方は、省略します)。

  x = \sqrt{2^{-1} p_x^{-1} p_y u}

  y = \sqrt{2^{-1} p_x p_y^{-1} u}

 そして、これを用いると、補償所得関数(支出関数は)cは、次のようになります。

  c= p_x x + p_y y = p_x \sqrt{2^{-1} p_x^{-1} p_y u} + p_y \sqrt{2^{-1} p_x p_y^{-1} u} = \sqrt{2 p_x p_y u}

 この補償所得関数について、価格でそれぞれ偏微分すると、

  \displaystyle \dfrac{\partial c}{\partial p_x} = \sqrt{2^{-1} p_x^{-1} p_y u}

  \displaystyle \dfrac{\partial c}{\partial p_y} = \sqrt{2^{-1} p_x p_y^{-1} u}

となり、いずれも補償需要関数となっていることが分かります。

 すなわち、(1)式のマッケンジーの補題が成立していることが分かります。

参考

  武隈愼一『ミクロ経済学

  西村和雄『ミクロ経済学

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