マッケンジーの補題について（例つき）

マッケンジーの補題

　マッケンジーの補題とは、文章でいうと、

　　「補償所得関数を価格で偏微分すると、補償需要関数が得られる」

というものです。

　数式で表すならば、2財 $x_i (i = 1, 2)$ について、価格を $p_i (i = 1, 2)$ とし、効用を $u$ 、補償所得関数を $E(p_1 , p_2 , u)$ 、補償需要関数を $D^u_i(p_1 , p_2 , u)$ とすると、

　　 $\displaystyle \dfrac{\partial E(p_1 , p_2 , u)}{\partial p_i} = D^u_i(p_1 , p_2 , u) \quad \cdots \quad (1)$

というものです。

導出方法

　導出にあたり、改めて費用最小化問題を考えます。

　　 $\displaystyle \min_{x_1 , x_2} p_1 x_1 + p_2 x_2$
　　 $s.t. \quad u(x_1 , x_2) = \bar{u}$

　これをラグランジュ乗数 $\lambda$ を使って、1階の条件を求めると、

　　 $\displaystyle p_i = \lambda \dfrac{\partial u(x_1 , x_2)}{\partial x_i} \quad \cdots \quad (2)$
　　 $u(x_1 , x_2) = \bar{u} \quad \cdots \quad (3)$

が得られ、補償需要関数 $D^u_i(p_1 , p_2 , u)$ 、補償所得関数 $E(p_1 , p_2 , u)$ が得られます。

　ここで、補償所得関数においては、次のようになっています。

　　 $E(p_1 , p_2 , u) = p_1 D^u_1(p_1 , p_2 , u) + p_2 D^u_2(p_1 , p_2 , u)$

　これを全微分すると、

　　 $\displaystyle \dfrac{\partial E}{\partial p_1} d p_1 + \dfrac{\partial E}{\partial p_2} d p_2 + \dfrac{\partial E}{\partial u} d u = D^u_1 d p_1 + D^u_2 d p_2 + p_1 d D^u_1 + p_2 d D^u_2 \quad \cdots \quad (4)$

となります。

　ここで、右辺第3項・第4項（ $p_1 d D^u_1 + p_2 d D^u_2$ ）に着目します。
　 $(2)$ 式を使うと、

　　 $\displaystyle p_1 d D^u_1 + p_2 d D^u_2 = \lambda \dfrac{\partial u}{\partial x_1} d D^u_1 + \lambda \dfrac{\partial u}{\partial x_2} d D^u_2 = \lambda \left( \dfrac{\partial u}{\partial x_1} d D^u_1 + \dfrac{\partial u}{\partial x_2} d D^u_2 \right)$