はじめに
計量経済学の回帰分析にあたって、分散が不均一分散であるときには、古典的な回帰分析を使うことはできません。
分散が不均一分散であることが疑われるときには、推定された分散が、不均一分散かどうかを調べる必要があります。
このときの不均一分散かどうかを検定する方法の1つとして、代表的なのがホワイト検定（White検定）です。
ホワイト検定
モデル
次のような重回帰モデルがあるとします。
$y_i = \beta_1 + \beta_2 x_{2i} + \cdots \beta_k x_{ki} + \epsilon_i \quad (i=1 \, , \, \cdots \, , n) \quad \cdots \quad (1)$
なお、誤差項は、
$E(\epsilon_i) = $
$E(\epsilon_i^2) = \sigma^2_i$
とします（$\sigma^2$ではなく、$\sigma^2_i$と不均一分散になっています）。
仮説
ホワイト検定では、次のような帰無仮説を考えます。
$H_0$：$\sigma^2_i = \sigma^2$
$H_1$：$\sigma^2_i \neq \sigma^2$
補助回帰
まずは、$(1)$式により残差$e_i$を求め、この残差の二乗に対して、すべての説明変数と、説明変数同士の2次の積で（補助）回帰を行います。積については、重複するものがあれば、一方を除きます。
$e_i^2 = \gamma_{1} + \gamma_{2} x_{2i} + \cdots \gamma_k x_{ki} + \gamma_{22} x_{2i}^2 + \gamma_{23} x_{2i} x_{3i} + \cdots \gamma_{2k} x_{2i} x_{ki} + \cdots + \gamma_{kk} x_{ki}^2 \quad \cdots \quad (2)$
なお、この回帰についての積などの説明変数については、ちょっと分かりにくいので、説明変数が2つの場合の次のような重回帰モデルを例に考えてみましょう。
$y_i = \beta_1 + \beta_2 x_{2i} + \beta_3 x_{3i} + \epsilon_i$
このときには、2次の積として、次のようなものが考えられます（定数項は、係数$\beta_1$に$1$を掛けたものであることに注意）。
説明変数：$1$、$x_{2i}$、$x_{3i}$
説明変数の二乗項：$1^2$、$x_{2i}^2$、$x_{3i}^2$
説明変数の交差項：$1 \times x_{2i}$、$1 \times x_{2i}$、$1 \times x_{3i}$、$x_{2i} x_{3i}$
このうち、重複しているものがいくつかあるので、それを除くと、
$e_i^2 = \gamma_{1} + \gamma_{2} x_{2i} + \gamma_{3} x_{3i} + \gamma_{22} x_{2i}^2 + \gamma_{33} x_{3i}^2 + \gamma_{23} x_{2i} x_{3i}$
を回帰することになります。
補助回帰
$(2)$式の回帰においては、定数項を含んだ説明変数の数を$p$、決定係数$R^2$とすると、$n \times R^2$について、帰無仮説の漸近分布は、$p-1$のカイ2乗分布となるので、
$n \times R^2 \sim \chi^2(p-1)$
これを検定することになります。
参考
黒住英司『計量経済学』
羽森茂之『ベーシック計量経済学』