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投稿経済数学中級

テイラー展開の考え方と公式について

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経済学で時々出てくるテイラー展開について、その考え方と公式を説明します。
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考え方

 数学的には、線形の関数とは異なり、曲線などの非線形の関数は、計算ができなかったり、式を解くことができなかったりと扱いにくいことが多いです。そこで、非線形の関数を線形として扱えれば、非常に便利です。

 そこで、用いられるのが、テイラー展開です。

 例えば、下の左側のグラフのような曲線があったとしましょう。
 全体としては曲線ですが、その一部分に注目すると、下の右側のグラフのように、線に近い形で近似できるはずです。
 

 このように、ある関数を線形の多項式で近似するというのが、テイラー展開になります。

一般的な公式

1変数関数の場合

 x=aを中心とする関数f(x)のテイラー展開は、次のようになります。

  \displaystyle f(x + a) = f(a) + f'(a) \dfrac{x}{1!} + f"(a) \dfrac{x^2}{2!} + \cdots

(参考)
 このテイラー展開は無限ですが、n+1回まで微分可能である場合には、次のようになります。

  \displaystyle f(x+a) = f(a) + f'(a)\dfrac{x}{1!} + f"(a) \dfrac{x^2}{2!} + \cdots + f^{n}(a) \dfrac{x^n}{n!} + f^{n+1}(a + \theta x) \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!} \quad (0 \textless \theta \textless 1)

 なお、最後の項は「剰余項」といい、剰余項がついているので、剰余項付きのテイラー展開と言います。

多変数関数の場合

 n個の変数の場合、関数f(\textbf{x})のテイラー展開は、次のようになります。

 \displaystyle f(\textbf{a} + \textbf{b}) = f(\textbf{a}) + \sum^{n}_{i=1} f'_i(\textbf{a})b_i + \dfrac{1}{2}\sum^{n}_{i=1}\sum^{n}_{j=1} f"_{ij}(\textbf{a} + \theta \textbf{b})b_i b_j \quad (0 \textless \theta \textless 1)

特殊形

 一般的な公式は上記の通りですが、簡便性のため、次のような形で、テイラー展開を使います。

  ・a=0とする(これをマクローリン展開と言います)

  ・2階微分で打ち止める

 このとき、1変数関数では、次のような式になります。

  \displaystyle f(x) = f(0) + f'(0) x + f"(0) \dfrac{x^2}{2!}

 2変数関数x , yの場合には、次のようになります。

  \displaystyle f(x , y) = f(0,0) + f_x(0,0) x + f_y(0,0) y + \dfrac{1}{2} \left( f_{xx}(0,0)x^2 + 2f_{xy}(0,0) xy + f_{yy}(0,0)y^2 \right)

経済学における使われ方

 経済学では、マクロ経済学や計量経済学などで、よくテイラー展開が使われるように思います。

 理由としては、理論的に導出したモデルが非線形な場合には、そのまま推計を行いにくい面があるからでしょう。

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