テイラー展開の考え方と公式について

考え方

　数学的には、線形の関数とは異なり、曲線などの非線形の関数は、計算ができなかったり、式を解くことができなかったりと扱いにくいことが多いです。そこで、非線形の関数を線形として扱えれば、非常に便利です。

　そこで、用いられるのが、テイラー展開です。

　例えば、下の左側のグラフのような曲線があったとしましょう。
　全体としては曲線ですが、その一部分に注目すると、下の右側のグラフのように、線に近い形で近似できるはずです。
　

　このように、ある関数を線形の多項式で近似するというのが、テイラー展開になります。

一般的な公式

1変数関数の場合

　 $x=a$ を中心とする関数 $f(x)$ のテイラー展開は、次のようになります。

　　 $\displaystyle f(x + a) = f(a) + f'(a) \dfrac{x}{1!} + f"(a) \dfrac{x^2}{2!} + \cdots$

（参考）
　このテイラー展開は無限ですが、 $n+1$ 回まで微分可能である場合には、次のようになります。

　　 $\displaystyle f(x+a) = f(a) + f'(a)\dfrac{x}{1!} + f"(a) \dfrac{x^2}{2!} + \cdots + f^{n}(a) \dfrac{x^n}{n!} + f^{n+1}(a + \theta x) \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!} \quad (0 \textless \theta \textless 1)$

　なお、最後の項は「剰余項」といい、剰余項がついているので、剰余項付きのテイラー展開と言います。

多変数関数の場合

　 $n$ 個の変数の場合、関数 $f(\textbf{x})$ のテイラー展開は、次のようになります。

　 $\displaystyle f(\textbf{a} + \textbf{b}) = f(\textbf{a}) + \sum^{n}_{i=1} f'_i(\textbf{a})b_i + \dfrac{1}{2}\sum^{n}_{i=1}\sum^{n}_{j=1} f"_{ij}(\textbf{a} + \theta \textbf{b})b_i b_j \quad (0 \textless \theta \textless 1)$