IS-LMモデル
総需要曲線を導出する前に、IS曲線・LM曲線を数式で定義づけます。
IS曲線については、総支出を$E$、消費を$C$、投資を$I$、利子率を$i$、政府支出を$G$とすると、
$E = E(Y \, , \, i \, , \, G \, , \, T) \quad \cdots \quad (1)$
$0 < E_Y < 1 \, , \, E_i < 0 \, , \, E_G < 0 \, , \, E_Y > 0$
とします。なお、一般的にはE = C(Y \; – \; T) + I(i) + G$のような形をとりますが、簡略化のため、一般形の関数になっています。また、利子率についても簡略化のため、名目と実質は等しいとします。
LM曲線については、貨幣量を$M$、物価を$P$とすると、
$\displaystyle \dfrac{M}{P} = L(i \, , \, Y) \quad \cdots \quad (2)$
$L_i < 0 \, , \, L_Y > 0$
総需要曲線の導出
IS曲線・LM曲線の$(1)$式・$(2)$式について、それぞれ物価$P$で微分すると、
$\displaystyle \dfrac{d Y}{d P} = E_Y \dfrac{d Y}{d P} \; + \; E_i \dfrac{d i}{d P} \quad \cdots \quad (3)$
$\displaystyle – \dfrac{M}{P^2} = L_i \dfrac{d i}{d P} + L_Y \dfrac{d Y}{d P} \quad \cdots \quad (4)$
を得ることができます。
$(4)$式は、
$\displaystyle \dfrac{d i}{d P} = – \dfrac{1}{L_i} \left( \dfrac{M}{P^2} + L_Y \dfrac{d Y}{d P} \right)$
のように変形でき、これを$(3)$式に代入し、$d Y / d P$で整理すると、
$\displaystyle \dfrac{d Y}{d P} = \dfrac{- M / P^2}{(1 \; – \; E_Y)L_i / E_i + L_Y}$
となり、これが総需要曲線の式となります。
ここで、式の条件から、分子はマイナス、分母はプラスになるので、
$\displaystyle \dfrac{d Y}{d P} < 0$
であり、物価が上昇すれば所得は減少するという右下がりの総需要曲線となることが分かります。
参考
デビッド・ローマー『上級マクロ経済学』