時系列分析のランダム・ウォーク・モデルの特徴・意義について

ランダム・ウォーク・モデル

　時系列分析において、ランダム・ウォーク・モデルというものがあります。

　時系列データ$y_t$について、攪乱項を$u_t$としたとき、

　　$y_t = y_{t-1} + u_t$

というモデルです。

　なお、攪乱項は、ホワイト・ノイズであり、

　　$E(u_t) = 0$
　　$Var(u_t) = \sigma^2$
　　$Cov(u_t u_s) = 0 \quad (t \neq \ s)$

となっています。

　$t$期の値は、1期前の$t-1$の値と攪乱項で形成されるという形で、モデルとしては、非常にシンプルで、分かりやすい形になっています。

　ランダム・ウォーク・モデルは、式変形すると、次のようになります。

　　$\displaystyle y_t = y_0 + \sum_{t=1}^t u_t$

　このことから、ランダム・ウォーク・モデルは、初期値に攪乱項の和を加えたモデルになっています。言い換えると、初期値から、過去の攪乱項の影響が積み重ねられ、$t$期の値となっているモデルと言えます。

　更に、期待値・分散・自己共分散$\gamma(s)$・自己相関$\rho(s)$は、次のようになります。

　　$E(y_t) = y_0$

　　$Var(y_t) = t \sigma^2$

　　$\gamma(s) = (t \; – \; s) \sigma^2$

　　$\rho(s) =\sqrt{\dfrac{t \; – \; s}{t}}$

　期待値は初期値でなのですが、時間$t$が大きくなるほど、分散は比例的に大きくなります。それに合わせ、期間差が大きくなるほど、自己共分散も大きくなります。ただ、自己相関は、$t$を所与としたとき、$t$から離れるほど、値は小さくなり、減衰することが分かります。

　モデルとしてはシンプルですが、このモデルは、

　　$y_t = \phi y_{t-1} + u_t$

としたとき、$\phi=1$であり、単位根を有し、非定常なモデルになっています。

　なので、時系列モデルとしては、面白くないモデルとなっています。

　時系列データ$y_t$がトレンドなどを有せず、情報がすべて織り込まれているとするならば、そのデータは変動することはなく、攪乱項にのみ、依存することになります（これを、ランダム・ウォーク仮説と言います）。

　この論理について逆に考えれば、このモデルに従っていれば、そのデータは、情報がすべて織り込まれていると考えられます。

　　命題　：　情報は織り込み済　⇒　データは攪乱項のみで表現できる
　　逆　　：　データは攪乱項のみで表現できる　⇒　情報は織り込み済

　ゆえに、データがランダム・ウォーク・モデルに従っているかどうかで、そのデータは情報がすべて織り込み済みかどうかを見ることができ、すべて織り込み済みである状態を効率的とすれば、そのデータが効率的かどうかが分かります。

　すなわち、あるデータが、ランダム・ウォーク・モデルかどうかを調べることで、データのベースとなる市場が効率的かどうかが分かることになります。

　ランダム・ウォーク・モデルは、時系列モデルとしては、非定常で面白くないモデルですが、過去の攪乱項（ホワイト・ノイズ）の積み重ねであり、データやその元となる市場の効率性を調べることができるなど、特徴的なモデルになっています。