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投稿ミクロ経済学初級

同次関数の使われ方の2つのパターン

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経済学における同次関数について、2つのパターンで登場するので、この点を整理して説明しています。
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概要

 ミクロ経済学を中心に、同次関数というものがよく出てきます。

 $k$次同次関数とは、次のような関数$f(\cdot)$があるとします。

  $y = f(x_1 , \cdots , x_n)$

 この式において、$x_1 , \cdots , x_n$のすべてを$t$倍したときに、どうなるかというものです。
 そして、

  $f(tx_1 , \cdots , tx_n) = t^k f(x_1 , \cdots , x_n)$

が成立するとき、関数$f(\dot)$は、$k$次同次関数であると言われます。

 よくあるのが、

  $k=0$のとき、$f(tx_1 , \cdots , tx_n) = f(x_1 , \cdots , x_n)$ (0次同次関数)

  $k=1$のとき、$f(tx_1 , \cdots , tx_n) = t f(x_1 , \cdots , x_n)$ (1次同次関数)

の場合でしょう。

 色んなところで出てくるので、整理もできていないまま、何となく学んでいるということがあると思います。

 改めて、このあたりについて、整理して説明します。

2つのパターンの同次関数

 同次関数が登場するとき、実は大きく分けると2つのパターンがあります。

【パターン1】
 1つは、方程式を解いていった結果、同次関数の性質を持っていることが分かる場合です。例えば、需要関数や供給関数がこの場合に当てはまります。

【パターン2】
 もう1つは、仮定として、同次関数であるとされる場合です(同次関数の性質をもつと仮定される場合です)。例えば、生産関数がこの場合になります。

 それぞれの場合について、説明しましょう。

パターン1

 例として、需要関数を考えましょう。
 $x,y$の2財があるとして、それぞれの価格を$p_x , p_y$、需要関数を$D_x , D_y$、所得を$m$とすると、

  $x = D_x(p_x , p_y , m)$

  $y = D_y(p_x , p_y , m)$

という式になります。

 $p_x , p_y , m$がすべて$t$倍になったとしても、需要量は変わりません。価格も所得も同じだけ上がるので、需要量は変化することはないからです。

  $D_x(t p_x , t p_y , tm) = t^0 D_x(p_x , p_y , m) = D_x(p_x , p_y , m)$

  $D_y(t p_x , t p_y , t m) = t^0 D_y(p_x , p_y , m) = D_y(p_x , p_y , m)$

 この点で、需要関数は0次同次関数であるとされます。

 ところで、この需要関数は、消費者が最適に行動した結果得られる関数です。言い換えれば、需要関数自体は0次同次関数であることを想定はしていなかったが、結果として0次同次関数であることが分かったということになります。

パターン2

 例として、生産関数を考えましょう。
 生産量を$Y$、資本を$K$、労働力を$L$とし、生産関数を$f$とすると、次のようになります。

  $Y = f(K , L)$

 そして、$K, L$について、それぞれ$t$倍したときに、

  $f(t K , t L) = t^k f(K , L)$

となり、$k$次の同次関数となります。そして、$k$の値によって、次のような性質を有します。

  $0 \lt k \lt 1$のとき、規模に関して収穫逓減

  $k=1$のとき、規模に関して収穫一定(1次同次関数)

  $k \gt 1$のとき、規模に関して収穫逓増

 ところで、経済モデルを考えるときに、$k$の値は、何らかの方程式を解いた結果、得られるものではありません。あくまでも、生産関数として、仮定して、議論が進められます。

まとめ

 同次関数は、経済学において、よく出てきますし、数学的な話になると思います。
 ただ、この背景には、2つのパターンがあることに注意しましょう。
 

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