2つの確率変数$X \, , \, Y$があるとき、それぞれの平均を$\mu_X \, , \, \mu_Y$、分散を$\sigma^2_X \, , \, \sigma^2_Y$とします。
共分散を$\sigma_{XY}$とすると、相関係数$\rho$は、次のような式になります。
$\rho = \dfrac{\sigma_{XY}}{\sigma_X \sigma_Y}$
そして、次のように相関係数は-1から1の値をとります。
$-1 \leq \rho \leq 1$
ところで、なぜ、相関係数が-1から1の値となるのかを説明します。
まずは、
$E \left( \left( \dfrac{X \; – \; \mu_X}{\sigma_X} \pm \dfrac{Y \; – \; \mu_Y}{\sigma_Y} \right)^2 \right) = E \left( \dfrac{(X \; – \; \mu_X)^2}{\sigma_X^2} \pm \dfrac{(X \; – \; \mu_X)(Y \; – \; \mu_Y)}{\sigma_X \sigma_Y} + \dfrac{(Y \; – \; \mu_Y)^2}{\sigma_Y^2} \right)$
$= \dfrac{E((X \; – \; \mu_X)^2)}{\sigma_X^2} \pm \dfrac{E((X \; – \; \mu_X)(Y \; – \; \mu_Y))}{\sigma_X \sigma_Y} + \dfrac{E(Y \; – \; \mu_Y)^2)}{\sigma_Y^2}$
となります。
ここで、この式の第1項から第3項は、次のように計算されます。
第1項：$\dfrac{E((X \; – \; \mu_X)^2)}{\sigma_X^2} = 1$
第2項：$\dfrac{E((X \; – \; \mu_X)(Y \; – \; \mu_Y))}{\sigma_X \sigma_Y} = \dfrac{\sigma_{XY}}{\sigma_X \sigma_Y} = \rho$
第3項：$\dfrac{E(Y \; – \; \mu_Y)^2)}{\sigma_Y^2} = 1$
これらのことから、
$E \left( \left( \dfrac{X \; – \; \mu_X}{\sigma_X} \pm \dfrac{Y \; – \; \mu_Y}{\sigma_Y} \right)^2 \right) = 1 \pm 2\rho + 1 = 2( 1 \pm \rho)$
を得ることができます。
ところで、
$E \left( \left( \dfrac{X \; – \; \mu_X}{\sigma_X} \pm \dfrac{Y \; – \; \mu_Y}{\sigma_Y} \right)^2 \right) \geq 0$
なので、
$2( 1 \pm \rho) \geq 0$
なので、
$-1 \leq \rho \leq 1$
となります。
参考
国沢清典・羽鳥裕久『数理統計演習』