微分方程式
変数$x \, , \, y$について、次のような微分方程式があるとします。
$\dfrac{d x}{dt} = f(x \, , \, y)$
$\dfrac{d y}{dt} = g(x \, , \, y)$
このとき、この微分方程式系が定常状態に対して、安定的であるかどうかを判定する手順を説明したいと思います。
手順
①定常状態を調べる
まずは、微分方程式について、
$\dfrac{d x}{dt} = f(x \, , \, y) = 0$
$\dfrac{d y}{dt} = g(x \, , \, y) = 0$
として、定常状態$x^* \, , \, y^*$を求めます。
②偏微分する
2つの微分方程式について、$x \, , \, y$で偏微分します。
(なおそれぞれの偏微分を$f_x \, , \, f_y \, , \, g_x \, , \, g_y$と定義しています)
$f_x(x \, , \, y) = \dfrac{\partial f(x \, , \, y)}{\partial x}$
$f_y(x \, , \, y) = \dfrac{\partial f(x \, , \, y)}{\partial y}$
$g_x(x \, , \, y) = \dfrac{\partial g(x \, , \, y)}{\partial x}$
$g_y(x \, , \, y) = \dfrac{\partial g(x \, , \, y)}{\partial y}$
③定常状態を代入する
偏微分したものに対して、定常状態を代入し、ヤコビ行列を作ります。
$\begin{bmatrix}
f_x(x^* \, , \, y^*) & f_y(x^* \, , \, y^*)\\
g_x(x^* \, , \, y^*) & g_y(x^* \, , \, y^*)\\
\end{bmatrix}$
④固有値を求める
ヤコビ行列について、固有値を$\lambda$として、次のように固有方程式を作ります。
$\lambda^2 \; – \; (f_x + g_y)\lambda + (f_x g_y \; – \; f_y g_x) = 0$
これを解いて、固有値$\lambda_1 \, , \, \lambda_2$を求めます。
$\lambda = \lambda_1 \, , \, \lambda_2$
⑤固有値を判定する
固有値により、次のような基準で、安定的か不安定であるかを判定することができます。
(固有値が実数のとき)
最大固有値 < 0のとき、安定的
最大固有値 > 0のとき、不安定
(固有値が複素数のとき)
固有値の実数部分 < 0のとき、安定的
固有値の実数部分 > 0のとき、不安定
参考
大浦宏邦『社会科学者のための進化ゲーム理論』
西村和雄『経済数学早わかり』