定常状態における解の安定性（2変数の場合）

微分方程式

　変数$x \, , \, y$について、次のような微分方程式があるとします。

　　$\dfrac{d x}{dt} = f(x \, , \, y)$

　　$\dfrac{d y}{dt} = g(x \, , \, y)$

　このとき、この微分方程式系が定常状態に対して、安定的であるかどうかを判定する手順を説明したいと思います。

　まずは、微分方程式について、

　　$\dfrac{d x}{dt} = f(x \, , \, y) = 0$

　　$\dfrac{d y}{dt} = g(x \, , \, y) = 0$

として、定常状態$x^* \, , \, y^*$を求めます。

　2つの微分方程式について、$x \, , \, y$で偏微分します。
　（なおそれぞれの偏微分を$f_x \, , \, f_y \, , \, g_x \, , \, g_y$と定義しています）

　　$f_x(x \, , \, y) = \dfrac{\partial f(x \, , \, y)}{\partial x}$

　　$f_y(x \, , \, y) = \dfrac{\partial f(x \, , \, y)}{\partial y}$

　　$g_x(x \, , \, y) = \dfrac{\partial g(x \, , \, y)}{\partial x}$

　　$g_y(x \, , \, y) = \dfrac{\partial g(x \, , \, y)}{\partial y}$

　偏微分したものに対して、定常状態を代入し、ヤコビ行列を作ります。

　　$\begin{bmatrix}
f_x(x^* \, , \, y^*) & f_y(x^* \, , \, y^*)\\
g_x(x^* \, , \, y^*) & g_y(x^* \, , \, y^*)\\
\end{bmatrix}$

　ヤコビ行列について、固有値を$\lambda$として、次のように固有方程式を作ります。

　　$\lambda^2 \; – \; (f_x + g_y)\lambda + (f_x g_y \; – \; f_y g_x) = 0$

　これを解いて、固有値$\lambda_1 \, , \, \lambda_2$を求めます。

　　$\lambda = \lambda_1 \, , \, \lambda_2$

　固有値により、次のような基準で、安定的か不安定であるかを判定することができます。

（固有値が実数のとき）
　最大固有値 < 0のとき、安定的　最大固有値 > 0のとき、不安定

（固有値が複素数のとき）
　固有値の実数部分 < 0のとき、安定的　固有値の実数部分 > 0のとき、不安定