チェイン・ルール
合成関数を微分するにあたり、チェイン・ルールというものがあります。
経済学において、微分を使うことが多いのですが、覚えておいたほうがよい公式の1つです。
チェイン・ルールとは、次の2つの関数があるとします。
このとき、合成関数 について、次のような公式があります。
商の微分
商 について、微分をするとき、このチェイン・ルールを使えば、次のような式を得ることができます。
チェイン・ルールの例
次のような2つの関数があるとします。
【代入した場合】
この2つの関数について代入して、について微分すると、次のようになります。
【チェイン・ルールを用いた場合】
この2つの関数について、チェイン・ルールを用いた場合には、
を求めて、チェイン・ルールを使うと、次のようになります。
このように、同じ結果が得られることが分かります。
商の微分の例
次のような2つの関数があるとします。
このとき、次を微分することを考えてみましょう。
【代入した場合】
そのまま代入した場合には、
を微分することになり、
となります。
【商の微分の公式を使った場合】
上記の商の微分の公式を使うと、
となります。
これらのことから、同じ結果が得られることが分かります。