合成関数の微分におけるチェイン・ルール

経済学では微分をすることが多いのですが、この微分をするにあたり、合成関数の微分におけるチェイン・ルールという公式があります。まずは、このチェイン・ルールについて説明し、その次に計算例を示し、解説したいと思います。

チェイン・ルール

　合成関数を微分するにあたり、チェイン・ルールというものがあります。
　経済学において、微分を使うことが多いのですが、覚えておいたほうがよい公式の1つです。

　チェイン・ルールとは、次の2つの関数があるとします。

　　 $y \, = \, f(x)$

　　 $z \, = \, g(y)$

　このとき、合成関数 $h(f(x))$ について、次のような公式があります。

　　 $\dfrac{d \, h(f(x))}{d \, x} \, = \, h'(f(x)) \, f'(x)$

商の微分

　商 $h(x) = f(x) / g(x)$ について、微分をするとき、このチェイン・ルールを使えば、次のような式を得ることができます。

　　 $\dfrac{d \, h(x)}{d \, x} = \dfrac{d \, (f(x) \, g^{-1}(x))}{d \, x} = \dfrac{f'(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x) \, g'(x)}{(g(x))^2}$

チェイン・ルールの例

　次のような2つの関数があるとします。

　　 $y= x^2 \quad , \quad z=y^2$

【代入した場合】
　この2つの関数について代入して、 $z$ について微分すると、次のようになります。

　　 $\dfrac{d \, z}{d \, x} = \dfrac{d \, x^4}{d \, x} = 4 x^3$

【チェイン・ルールを用いた場合】
　この2つの関数について、チェイン・ルールを用いた場合には、

　　 $\dfrac{d \, y}{d \, x} = 2 x \quad , \quad \dfrac{d \, z}{d \, y} = 2y$

を求めて、チェイン・ルールを使うと、次のようになります。

　　 $\dfrac{d \, z}{d \, x} = h'(f(x)) f'(x) = 2 x^2 \times 2x = 4 x^3$

　このように、同じ結果が得られることが分かります。

商の微分の例

　次のような2つの関数があるとします。

　　 $f(x) = 3x \quad , \quad g(x) = x^2$

　このとき、次を微分することを考えてみましょう。

　　 $h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{3x}{x^2}$

【代入した場合】
　そのまま代入した場合には、

　　 $h(x) = \dfrac{3}{x} = 3x^{-1}$

を微分することになり、

　　 $\dfrac{d h(x)}{dx} = -\dfrac{3}{x^2}$

となります。

【商の微分の公式を使った場合】
　上記の商の微分の公式を使うと、

　　 $\dfrac{d \, h(x)}{d \, x} = \dfrac{d \, (f(x) \, g^{-1}(x))}{d \, x} = \dfrac{f'(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x) \, g'(x)}{(g(x))^2} = \dfrac{3}{x^2} - \dfrac{3x \cdot 2x}{(x^2)^2} = -\dfrac{3}{x^2}$

となります。

　これらのことから、同じ結果が得られることが分かります。

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