はじめに
経済学において、完全競争においては、企業はプライステーカーとして、行動することになりますが、不完全競争においては、そうでありません。
企業数が数社しかいないような寡占市場では、企業数が無数であるという完全競争の前提が崩れるため、別の分析手法が必要となります。
寡占市場の分析で、代表的なのが「クールノー・モデル」です。クールノー・モデルでは、寡占・複占の状態で、他の企業の生産量の影響を受けながら、自社の生産量を決めていくことになります。
クールノー・モデルについては、「寡占市場におけるクールノー・ゲームについて（数式）」あたりを見てください。
そして、寡占市場の分析で、クールノー・モデルと双璧を成すのが、このベルトラン・ゲーム（ベルトラン・モデル）です。
ベルトラン・ゲームでは、企業は他企業の価格に影響を受けながら、価格調整を行うことになります。
ベルトラン・ゲーム
$A$と$B$という2社があるものとして、ライバルの価格に自社の生産量が影響されるとします。言い換えれば、ライバルの価格を予想して、自社の価格を決定していくと考えます。
このとき、$A$社・$B$社の価格を$p_i (i=A \, , \, B)$、両社の価格に影響される需要関数を$d_i(p_A \, , \, p_B)$とすると、需要量を$x_i (i=A \, , \, B)$は、
$x_i = d_i(p_A \, , \, p_B) \quad ((i=A \, , \, B)$
となります。
それぞれの費用関数を$c_i(x_i) (i=A \, , \, B)$とすると、利潤関数$\pi_i (i=A \, , \, B)$は、次のようになります。
$\pi_i = p_i d_i(p_A \, , \, p_B) \; – \; c_i(d_i(p_A \, , \, p_B))$
$A$社・$B$社は自社の価格$p_i$を調整して、利潤を最大化するので、
$\dfrac{\partial \pi_i}{\partial p_i} = d_i(p_A \, , \, p_B) + p_i \dfrac{\partial d_i}{\partial p_i} \; – \; \dfrac{d c_i}{d d_i} \dfrac{\partial d_i}{\partial p_i} = 0$
という利潤最大化条件を得ることができます。
そして、この式を満たすように、均衡価格$p_A^* \, , \, p_B^*$を得ることができます。
需要関数の特定化
上記の式のままでは、よく分からないので、次のような線形の需要関数を考えます。
$x_i = d_i(p_A \, , \, p_B) = \alpha \; – \; \beta p_i + \gamma p_j \quad (\alpha \, , \, \beta \, , \, \gamma > 0) \quad \cdots \quad (1)$
この式から、自社の価格が上がると、自社の需要が減り、ライバルの価格が上がると、自社の需要が増える形になっています。
また、この式において、$p_i$について解くと、逆需要関数
$p_i = \dfrac{\alpha + \gamma p_j}{\beta} \; – \; \dfrac{1}{\beta}d_i(p_A \, , \, p_B) \quad \cdots \quad (2)$
が得られ、右肩下がりの通常の需要関数になっていることが分かります。
利潤最大化
上記の需要関数のもと、簡略化のため、費用について、$c x_i = c_A x_A =c_B x_B$とすると、
$\pi_i = (p_i \; – \; c) (\alpha \; – \; \beta p_i + \gamma p_j)$
という利潤を最大化することになります。
そして、利潤最大化の一階条件は、
$\dfrac{\partial \pi_i}{\partial p_i} = x_i \; – \; \beta (p_i \; – \; c) = 0 \quad \cdots \quad (3)$
となり、$(1)$式の需要関数を用いて、これを整理すると、
$p_i = \dfrac{\alpha +c \beta + \gamma p_j}{2 \beta} \quad \cdots \quad (4)$
となり、反応関数を得ることができます。
$\alpha \, , \, \beta \, , \, \gamma$はパラメーターなので、自社の価格はライバルの価格によって、決定することになります。
均衡価格
$A$社・$B$社の需要関数のパラメーターや限界費用は同じなので、均衡においては、$p_A = p_B$が成り立ち、$(4)$式の反応関数を計算すると、
$p_A^* = p_B^* = \dfrac{\alpha + c \beta}{2\beta \; – \; \gamma}$
となります。
企業の行動原理
最後に、ベルトラン・ゲームにおいて、企業がどのように行動しているかを考えましょう。
$i$社において、限界収入$MR$は、$(2)$式の逆需要関数を考えると、次のようになります。
$MR = \dfrac{\partial (p_i x_i)}{\partial x_i} = p_i \; – \; \dfrac{1}{\beta} x_i$
ところで、企業の利潤最大化の一階条件である$(3)$式を変形すると、次が得られます。
$c = p_i \; – \; \dfrac{1}{\beta} x_i$
このことから、
$MR = c$
であり、独占企業のように行動していることが分かります。
すなわち、ベルトラン・ゲームでは、ライバル企業の価格を所与として、逆需要関数のもと、独占価格をつけていることになります。
参考
奥野正寛（編著）『ミクロ経済学』
西村和雄『ミクロ経済学』