指数分布
指数分布は、確率変数$X$について、次のような確率密度関数です。
$\begin{equation}
f(x)=
\begin{cases}
\lambda e^{- \lambda x} & (x \geq 0) \\
0 & (x < 0)
\end{cases}
\end{equation}$
なお、$\lambda$はパラメーターで、$\lambda > 0$です。
指数分布の平均
指数分布の確率密度関数を用いると、
$\displaystyle E(X) = \int_{-\infty}^\infty x \cdot f(x) dx = \int_{-\infty}^\infty x \cdot \lambda e^{- \lambda x} dx = \int_0^\infty x \cdot \lambda e^{- \lambda x} dx = \int_0^\infty x \cdot (\; – \; e^{- \lambda x})’ dx$
となります。
次に、部分積分の公式を用います。
$\displaystyle E(X) = \int_0^\infty x \cdot (\; – \; e^{- \lambda x})’ dx = \left[ x \cdot (\; – \; e^{- \lambda x}) \right]^\infty_0 + \int_0^\infty e^{- \lambda x} dx = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{- \; x}{e^{ \lambda x}} + \int_0^\infty e^{- \lambda x} dx$
ここで、ロピタルの定理を使うと（ロピタルの定理については、「ロピタルの定理について」を参照）、
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{- \; x}{e^{ \lambda x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{- \; 1}{\lambda e^{ \lambda x}} = 0$
であるので、
$\displaystyle E(X) = 0 + \left[ – \; \dfrac{1}{\lambda} e^{- \lambda x}) \right]^\infty_0 = \dfrac{1}{\lambda}$
このことから、指数分布の平均は$1 / \lambda$となります。
指数分布の分散
指数分布の分散を求める前に、まずは$E(X^2)$を計算します。
$\displaystyle E(X^2) = \int_{-\infty}^\infty x^2 \cdot \lambda e^{- \lambda x} dx = \int_0^\infty x^2 \cdot e^{- \lambda x} dx$
次に、部分積分の公式を用います。
$\displaystyle E(X^2) = \left[ x^2 \cdot (\; – \; e^{-\lambda x}) \right]^\infty_0 + \int_0^\infty 2x \cdot e^{- \lambda x} dx$
ここで、ロピタルの定理を使うと
$\displaystyle \left[ x^2 \cdot (\; – \; e^{-\lambda x}) \right]^\infty_0 = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{- \; x^2}{e^{\lambda x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{- \; 2 x}{\lambda e^{\lambda x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{- \; 2}{\lambda^2 e^{\lambda x}} = 0$
なので、
$\displaystyle E(X^2) = 0 + \int_0^\infty 2x \cdot e^{- \lambda x} dx = \dfrac{2}{\lambda} \int_{-\infty}^\infty x \cdot \lambda e^{- \lambda x} dx = \dfrac{2}{\lambda} E(X) = \dfrac{2}{\lambda^2}$
ところで、分散は、分散の公式を使うと
$\displaystyle V(X) = E(X^2) \; – \; (E(X))^2 = \dfrac{2}{\lambda^2} \; – \; \dfrac{1}{\lambda^2} = \dfrac{1}{\lambda^2}$
となり、指数分布の分散は$1 / \lambda^2$となります。
参考
国沢清典・羽鳥裕久『数理統計演習』