「クールノー型の寡占均衡」を数式をまじえ解説します

不完全競争下の寡占におけるモデルの1つであるクールノー型の寡占均衡を説明します。

概要

 不完全競争において、数社の企業が市場を支配しているということがあります。
 このような場合に、当然ながら、完全競争は実現されず、完全競争とは異なるモデルが必要となります。そして、寡占において、価格はどうなるのか、どのぐらいの数の企業でその市場は支配されるのかなどが気になるところです。

 このときに1つの答えを与えてくれるのが、「クールノー型の寡占均衡」です。

モデル

 ある産業について、いくつのもの企業が参入しており、各企業が他の企業のことを考えずに、財を供給することを考えます。
 ここで、クールノー型というのは、他の企業の供給量は一定として、自社の利益を最大化することを示しています。

 まず、ある財ををn社がx_i生産しているといます。

 このとき、

  \displaystyle X=\sum^{n}_{i=1} x_i

が成立します。ここで、Xは、この産業全体の総供給量を表します。

 次に、各企業の利益\piを考えます。

  \pi = p(X) \cdot x_i - C(x_i)

 ここで、pはこの財の価格であり、この財全体の総供給量Xにより、決定される形になっています(逆需要関数といいます)。そして、費用はC(x_i)とします。

 このとき、利潤最大化を行うと、次のようになります。

  \displaystyle \dfrac{d \pi}{d x_i} = \dfrac{d p(X)}{d x_i}\cdots x_i + p(X) - C'(x_i)=0

 この式の第1項については、

  \displaystyle  \dfrac{d p(X)}{d X}\dfrac{d X}{d x_i}\cdot x_i + p(X) - C'(x_i)=0

とでき、X=\sum^{n}_{i=1} x_iから、dX / d x_i=1なので、

  \displaystyle  \dfrac{d p(X)}{d X}\cdot x_i + p(X) - C'(x_i)=0

となります。更に、総供給量Xは一定とし変形すると、次式が得られます。

  \displaystyle  \dfrac{d p}{p} \cdot \dfrac{p}{X} \cdot \dfrac{X}{d X}\cdot x_i + p - C'(x_i)=0

 ここで、-\frac{d X/ x}{dp / p}は、需要の価格弾力性\varepsilonということを考慮します。
 また、各企業が同質的だと仮定すると、X=n x_iとなります。C'(x_i)は限界費用ですが、企業は同質的なのでC'(x_i)=cとします。これらの式を代入すると、

  \displaystyle  - \dfrac{1}{\varepsilon} \cdot \dfrac{p}{n} + p - c=0

となります。最後にこれを整理すると、

  p = \dfrac{n \varepsilon}{n \varepsilon -1}\cdot c \qquad \cdots \qquad (1)  

が得られます。

分析

 (1)式から、次のことが分かります。

  企業数nが増加したとき ⇒ 価格pは下がる

  需要の価格弾力性\varepsilonが大きくなったとき ⇒ 価格pは下がる

  限界費用cが大きくなったとき ⇒ 価格pは上がる

 また、上記の式を企業数nを中心に考えると、次式に変形できます。

  n = \dfrac{p-c}{p}\dot \varepsilon

 このことから、次が分かります。

  価格pが上昇したとき ⇒ 企業数nは増える

  需要の価格弾力性\varepsilonが大きくなったとき ⇒ 企業数nは増える

  限界費用cが大きくなったとき ⇒ 企業数nは減少する

クールノー極限定理

 (1)式から、企業数が大きくなると、価格は下がることが分かりました。

 ここで、企業数が無限大に増えたときを考えましょう。つまり、次式を検討します。

  \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} p = \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{n \varepsilon}{n \varepsilon -1}\cdot c

 このとき、(1)式を変形すると、p=1/(1-(1 /n \varepsilon))\cdot cとなり、nが無限大のときには、1 /n \varepsilon = 0になるので、

  \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} p = c

となり、価格pは限界費用cと等しくなります。
 完全競争の場合には、価格と限界費用は等しくなることを考えると、企業数が増えると、完全競争均衡が実現されることを示しています。

 このことは「クールノー極限定理」と呼ばれています。

産業組織論
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