期待効用仮説を数値例をまじえ、分かりやすく解説

期待効用仮説

　期待効用仮説とは、ある選択をしたときに、確率を考慮して得られる効用のことです。
　
　ある選択 $P$ をしたとしましょう。
　このとき、 $p_i$ の確率で$x_i$が発生し、その効用を $u(x_i)$ としたとき、（選好順序が完備性・推移性・独立性・連続性を満たせば）次式が成立します。

　　 $\displaystyle U(P) = \sum^n_{i=1} p_i u(x_i) \qquad ( p_i \geq 0 , \quad \sum^n_{i=1} p_i =1)$

　この効用関数は、期待効用関数と呼ばれます（ノイマン=モルゲンシュテルン効用関数とも言われます）。

【数値例】
　ある選択について、2パターンの結果があるとします。効用が $u(x_i)=x_i^3$ としたとき、

　　 $U(P) = p x_1^3 + (1-p) x_2^3$

となります。このとき、20%の確率で3、80%の確率で1の利益が得られるとすると、期待効用は次のようになります。

　　 $U(P) = 0.2 \times ( 3 )^3 + 0.8 \times ( 1 )^3 = 6.2$

リスクに対する態度

　期待効用関数を用いると、リスクに対する態度を、次のように表すことができます。

　　リスク愛好的　…　 $\displaystyle \sum^n_{i=1} p_i u(x_i) \textgreater \sum^n_{i=1} u(p_i x_i)$

　　リスク中立的　…　 $\displaystyle \sum^n_{i=1} p_i u(x_i) = \sum^n_{i=1} u(p_i x_i)$

　　リスク回避的　…　 $\displaystyle \sum^n_{i=1} p_i u(x_i) \textless \sum^n_{i=1} u(p_i x_i)$

（例）
　確率25%で20、確率75%で100得られるような状況を考えます。
　期待利得は、次のようになります。

　　 $0.25 \times 20 + 0.75 \times 100 = 80$

【リスク愛好的な場合】
　ある個人の期待効用関数として、 $u(x)=x^2$ とします。

　　 $p_1 u(x_1) + p_2 u(x_2)= 0.25 \times 20^2 + 0.75 \times 100^2 = 6,400$ 　

　　 $u(p_1 x_1) + u(p_2 x_2)= (0.25 \times 20)^2 + (0.75 \times 100)^2 = 7,600$ 　
　
　つまり、 $p_1 u(x_1) + p_2 u(x_2) \textless u(p_1 x_1) + u(p_2 x_2)$ が成立しており、この個人はリスク愛好的であることが分かります。

【リスク中立的な場合】
　ある個人の期待効用関数として、 $u(x)=x$ とします。

　　 $p_1 u(x_1) + p_2 u(x_2)= 0.25 \times 20 + 0.75 \times 100 = 80$ 　

　　 $u(p_1 x_1) + u(p_2 x_2)= (0.25 \times 20) + (0.75 \times 100) = 80$ 　
　
　つまり、 $p_1 u(x_1) + p_2 u(x_2) = u(p_1 x_1) + u(p_2 x_2)$ が成立しており、この個人はリスク中立的であることが分かります。

【リスク回避的な場合】
　ある個人の期待効用関数として、 $u(x)=\sqrt{x}$ とします。

　　 $p_1 u(x_1) + p_2 u(x_2)= 0.25 \times \sqrt{20} + 0.75 \times \sqrt{100} = 8.6$ 　

　　 $u(p_1 x_1) + u(p_2 x_2)= \sqrt{0.25 \times 20 + 0.75 \times 100} = 8.9$ 　
　
　つまり、 $p_1 u(x_1) + p_2 u(x_2) \textless u(p_1 x_1) + u(p_2 x_2)$ が成立しており、この個人はリスク回避的であることが分かります。