期待効用仮説を数値例をまじえ、分かりやすく解説

期待効用仮説について、数値例を交えながら、初級者向けに解説しています。

期待効用仮説

 期待効用仮説とは、ある選択をしたときに、確率を考慮して得られる効用のことです。
 
 ある選択Pをしたとしましょう。
 このとき、p_iの確率で$x_i$が発生し、その効用をu(x_i)としたとき、(選好順序が完備性・推移性・独立性・連続性を満たせば)次式が成立します。

  \displaystyle U(P) = \sum^n_{i=1} p_i u(x_i) \qquad ( p_i \geq 0 , \quad \sum^n_{i=1} p_i =1)

 この効用関数は、期待効用関数と呼ばれます(ノイマン=モルゲンシュテルン効用関数とも言われます)。

【数値例】
 ある選択について、2パターンの結果があるとします。効用がu(x_i)=x_i^3としたとき、

  U(P) = p x_1^3 + (1-p) x_2^3

となります。このとき、20%の確率で3、80%の確率で1の利益が得られるとすると、期待効用は次のようになります。

  U(P) = 0.2 \times ( 3 )^3 + 0.8 \times ( 1 )^3 = 6.2

リスクに対する態度

 期待効用関数を用いると、リスクに対する態度を、次のように表すことができます。

  リスク愛好的 … \displaystyle \sum^n_{i=1} p_i u(x_i) \textgreater \sum^n_{i=1} u(p_i x_i)

  リスク中立的 … \displaystyle \sum^n_{i=1} p_i u(x_i) = \sum^n_{i=1} u(p_i x_i)

  リスク回避的 … \displaystyle \sum^n_{i=1} p_i u(x_i) \textless \sum^n_{i=1} u(p_i x_i)

(例)
 確率25%で20、確率75%で100得られるような状況を考えます。
 期待利得は、次のようになります。

  0.25 \times 20 + 0.75 \times 100 = 80

【リスク愛好的な場合】
 ある個人の期待効用関数として、u(x)=x^2とします。

  p_1 u(x_1) + p_2 u(x_2)= 0.25 \times 20^2 + 0.75 \times 100^2 = 6,400 

  u(p_1 x_1) + u(p_2 x_2)= (0.25 \times 20)^2 + (0.75 \times 100)^2 = 7,600 
 
 つまり、p_1 u(x_1) + p_2 u(x_2) \textless u(p_1 x_1) + u(p_2 x_2)が成立しており、この個人はリスク愛好的であることが分かります。

【リスク中立的な場合】
 ある個人の期待効用関数として、u(x)=xとします。

  p_1 u(x_1) + p_2 u(x_2)= 0.25 \times 20 + 0.75 \times 100 = 80 

  u(p_1 x_1) + u(p_2 x_2)= (0.25 \times 20) + (0.75 \times 100) = 80 
 
 つまり、p_1 u(x_1) + p_2 u(x_2) = u(p_1 x_1) + u(p_2 x_2)が成立しており、この個人はリスク中立的であることが分かります。

【リスク回避的な場合】
 ある個人の期待効用関数として、u(x)=\sqrt{x}とします。

  p_1 u(x_1) + p_2 u(x_2)= 0.25 \times \sqrt{20} + 0.75 \times \sqrt{100} = 8.6 

  u(p_1 x_1) + u(p_2 x_2)= \sqrt{0.25 \times 20 + 0.75 \times 100} = 8.9 
 
 つまり、p_1 u(x_1) + p_2 u(x_2) \textless u(p_1 x_1) + u(p_2 x_2)が成立しており、この個人はリスク回避的であることが分かります。

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