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投稿金融論中級

連続型の割引率とその導出方法

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連続型の割引率に関して、どういうものなのか、そして離散型からの導出方法について、説明します。
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離散型の割引率

 通常の離散型の割引率について、t期の価値をV_t、利率をr、各期の利得をaとすると、次のような式になります。

  displaystyle V_t = dfrac{a}{(1+r)^t} quad cdots quad (1)

 なお、利得は毎期同じであるとし、aという定数になっています。

 ところで、(1)式はあくまでも離散型の式であり、連続時間のものではありません。
 動学モデルでは連続時間のモデルも多く、いきなり連続型の割引率が使われたりもしています。

 そこで、連続型の割引率について、改めて掲載し、その導出方法を説明します。

連続型の割引率

 数式の記号については、離散型と同じとすると、連続型の割引率は、次のようになります。

  displaystyle V_t = a e^{-rt} quad cdots quad (2)

導出方法

 (2)式を見ると、利得aが指数的に割り引かれているという感じで、直観的には理解できるのですが、(1)式から、その導出方法を説明します。

 まず、連続時間では微小な単位で複利計算がなされるので、t期を、更にn分割すると、次のようになります。

  displaystyle V_t = dfrac{a}{(1+r/n)^{nt}} quad cdots quad (3)

 この部分は、直観的には理解しにくい感じがあるので、例を加えましょう。
 年利rを半年で複利で割り引くことを考えると、利率は半分になり、2回割り引くことになるので、

  displaystyle V_t = dfrac{a}{(1+r/2)^t times (1+r/2)^t} = dfrac{a}{(1+r/2)^{2t}}

となります。同様に、年利rを四半期で複利で割り引くことを考えると、利率は4分の1になり、4回割り引くことになるので、

  displaystyle V_t = dfrac{a}{(1+r/4)^{4t}}

となります。このように考えると、(3)式のような形になります。

 そして、(3)式の分割を極小にすることで、連続型に変形することができます。具体的には、(3)式のnを無限大にすればいい形です。

  displaystyle V_t = lim_{n rightarrow infty} left( dfrac{a}{(1+r/n)^{nt}} right) quad cdots quad (4)

 ここで、テクニックとして、

  displaystyle x = dfrac{n}{r}

を定義します。これを(4)式に代入すると、

  displaystyle V_t = lim_{n rightarrow infty} left( dfrac{a}{(1+1/x)^{xrt}} right)

     displaystyle = a left[ lim_{n rightarrow infty} left( 1 + dfrac{1}{x} right)^x right]^{-rt} quad cdots quad (5)

となります。

 ここで、指数の定義として、次のようなものがあります(上記でテクニックとしてと書いたのは、次の式を使うためです)。

  displaystyle e = lim_{n rightarrow infty} left( 1 + dfrac{1}{n} right)^n

 これを(5)式に使うと、

  displaystyle V_t = a e^{-rt}

となり、(2)式が導出できます。

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