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連続型の割引率とその導出方法

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離散型の割引率

　通常の離散型の割引率について、 $t$ 期の価値を $V_t$ 、利率を $r$ 、各期の利得を $a$ とすると、次のような式になります。

　　 $displaystyle V_t = dfrac{a}{(1+r)^t} quad cdots quad (1)$

　なお、利得は毎期同じであるとし、 $a$ という定数になっています。

　ところで、 $(1)$ 式はあくまでも離散型の式であり、連続時間のものではありません。
　動学モデルでは連続時間のモデルも多く、いきなり連続型の割引率が使われたりもしています。

　そこで、連続型の割引率について、改めて掲載し、その導出方法を説明します。

連続型の割引率

　数式の記号については、離散型と同じとすると、連続型の割引率は、次のようになります。

　　 $displaystyle V_t = a e^{-rt} quad cdots quad (2)$

導出方法

　 $(2)$ 式を見ると、利得 $a$ が指数的に割り引かれているという感じで、直観的には理解できるのですが、 $(1)$ 式から、その導出方法を説明します。

　まず、連続時間では微小な単位で複利計算がなされるので、 $t$ 期を、更に $n$ 分割すると、次のようになります。

　　 $displaystyle V_t = dfrac{a}{(1+r/n)^{nt}} quad cdots quad (3)$

　この部分は、直観的には理解しにくい感じがあるので、例を加えましょう。
　年利 $r$ を半年で複利で割り引くことを考えると、利率は半分になり、2回割り引くことになるので、

　　 $displaystyle V_t = dfrac{a}{(1+r/2)^t times (1+r/2)^t} = dfrac{a}{(1+r/2)^{2t}}$

となります。同様に、年利 $r$ を四半期で複利で割り引くことを考えると、利率は4分の1になり、4回割り引くことになるので、

　　 $displaystyle V_t = dfrac{a}{(1+r/4)^{4t}}$

となります。このように考えると、 $(3)$ 式のような形になります。

　そして、 $(3)$ 式の分割を極小にすることで、連続型に変形することができます。具体的には、 $(3)$ 式の $n$ を無限大にすればいい形です。

　　 $displaystyle V_t = lim_{n rightarrow infty} left( dfrac{a}{(1+r/n)^{nt}} right) quad cdots quad (4)$

　ここで、テクニックとして、

　　 $displaystyle x = dfrac{n}{r}$

を定義します。これを $(4)$ 式に代入すると、

　　 $displaystyle V_t = lim_{n rightarrow infty} left( dfrac{a}{(1+1/x)^{xrt}} right)$

　　　 $displaystyle = a left[ lim_{n rightarrow infty} left( 1 + dfrac{1}{x} right)^x right]^{-rt} quad cdots quad (5)$

となります。

　ここで、指数の定義として、次のようなものがあります（上記でテクニックとしてと書いたのは、次の式を使うためです）。

　　 $displaystyle e = lim_{n rightarrow infty} left( 1 + dfrac{1}{n} right)^n$

　これを $(5)$ 式に使うと、

　　 $displaystyle V_t = a e^{-rt}$

となり、 $(2)$ 式が導出できます。

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