はじめに
経済厚生を考えるにあたって、消費者余剰という概念が出てきます。
簡単に言えば、ある経済における消費者の利益・便益ということになるのですが、この消費者余剰について、準線形効用関数を用いて、導出方法を説明します。
導出方法
消費者行動
消費者が、初期の所得$ E$のもと、財$ x$を価格$ p$で購入するものとします。
そして、財$ x$の購入以外に保有する貨幣量を$ m$とすると、
$ px + m = E \quad \cdots \quad (1)$
という予算制約式が成立します。
消費者の効用については、財の消費量$ x$と貨幣量$ m$に依存するとし、準線形効用関数に依存すると仮定します。
$ u(x, m) = V(x) + m \quad \cdots \quad (2)$
ここで、$ V(x)$は財からの効用を表し、効用は逓減するものとして、$ V’\gt 0 \, , \, V”\lt 0$とします。
そして、貨幣量$ m$は他の財を購入したときに得られる間接的な効用となっています。そして、貨幣の限界効用が1であり、この効用関数から、この消費者については効用を貨幣で表示することが可能になります。
このとき、消費者が効用の最大化を行うとき、$ (1)(2)$式から、
$ p = V'(x) \quad \cdots \quad (3)$
という式を得ることができます。
これを図示すると、次のようになります（$ V’\gt 0 \, , \, V”\lt 0$から、右下がりになります）。
このように、一般的な需要曲線を得ることができます。
消費者余剰
ここで、改めて消費者余剰について考えましょう。
消費者は当初は、財を購入せずに、貨幣量$ m$だけもっていますが、消費者は財を購入することで効用の増加が期待できます。このため、この財を購入することによって得られる部分が消費者にとっての利得・便益と言えるでしょう。
このことから、消費者余剰$ CS$とは、財を購入することによって得られる効用と財を購入しない状態の効用を比べたものと定義しましょう。
$ CS = u(x,m) – u(0,m)$
$ = ( V(x) + E – px ) – ( V(0) + E )$
$ = V(x) – px – V(0) \quad \cdots \quad (4)$
ここで、積分の基本定理から、
$ V(x) – V(0) = \int_0^x V'(z) dz$
が成立するので、$ (4)$式に代入すると、
$ CS =\displaystyle \int_0^x V'(z) dz – px$
を得ることができます。
右辺の第1項$ \int_0^x V'(z) dz$は消費者の総効用を表し、第2項$ px$は支出額を表すので、消費者余剰は総効用から支出額を引いたものとなっています。
図で見ると、次のような消費者余剰の一般的な図になります。
右辺の第1項$ \int_0^x V'(z) dz$は、曲線$ V'(z)$の面積全体を示し、第2項$ px$は図の下部分を表しています。そして、図の上部分が消費者余剰になります。
参考
武隈愼一『ミクロ経済学』
奥野正寛（編著）『ミクロ経済学』