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投稿経済数学中級

包絡線定理について

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ミクロ経済学の費用関数の分析などで出てくる「包絡線定理」について説明します。
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包絡線定理

前提

 次のような最適化問題があるとします($\textbf{a} , \textbf{b}$はパラメーター)。

  $\displaystyle \max_{\textbf{x}} \; f(\textbf{x} , \textbf{a})$
    $s.t. g(\textbf{x} , \textbf{b}) = 0$

 これを解くと、最適値$\textbf{x}^*(\textbf{a}^* , \textbf{b}^*)$を得ることができます。
 そしてこの最適値をもとにした次のような関数を考えることができます。

  $F(\textbf{a}^* , \textbf{b}^*) = f(\textbf{x}^*(\textbf{a}^* , \textbf{b}^*)) , \textbf{a}^*)$

包絡線定理

 最適値をもとにした$F(\textbf{a}^* , \textbf{b}^*)$について、

  $\displaystyle \dfrac{\partial F(\textbf{a}^* , \textbf{b}^*)}{\partial a_i} = \dfrac{\partial f(\textbf{x}^*(\textbf{a}^* , \textbf{b}^*) , \textbf{a}^*)}{\partial a_i}$

が成り立ち、これを「包絡線定理」と言います。

参考

  西村和雄『経済数学早わかり

  ピーター・バーク、クヌート・シュドセーテル『エコノミスト数学マニュアル

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