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投稿経済数学初級

ラグランジュ乗数の意味とは何であるか?

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経済学でよく使われるラングランジュ未定乗数法ですが、ラグランジュ乗数についての意味を説明します。
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はじめに

 2つの変数$x_1 , x_2$について、目的関数を$u(x_1 , x_2)$、制約条件を$E = f(x_1 , x_2)$として、最適化問題を考えるとします。

  $\displaystyle \max_{x_1 ,x_2} \; u(x_1 , x_2)$
  $s.t. \; E = f(x_1 , x_2)$

 そしてこの問題を解く方法として、定番なのがラグランジュ未定乗数法で、次のような定式化を行うことになります。

  $L = u(x_1 , x_2) \; – \; \lambda (f(x_1 , x_2) \; – \; E) \cdots (1)$

 このときに思うことは、

  「ラグランジュ乗数$\lambda$って、何だ?」

  「ラグランジュ乗数$\lambda$は最終的に消去しなければならないので、面倒!」

といったところではないでしょうか。

 また、本を読むと、ラグランジュ乗数は、「シャドープライス」「潜在価格」などと呼ばれており、一層、分からくなったりもするでしょう。

 そこで、ラグランジュ乗数の意味について、説明します。

ラグランジュ乗数の意味

意味

 ラグランジュ乗数の意味を一言でいえば、

  「制約式のパラメーターが変化したとき、目的関数に与える影響」

を示しています。

 文章ではかえって分かりにくいと思いますので、$(1)$式から、数式で表すと、

  $\displaystyle \lambda = \dfrac{\partial u(x_1 , x_2)}{\partial E}$ 

を示します。

 例えば、基本的な消費者行動のモデルで考えれば、所得の変化が効用に与える影響といえるものでしょう。

証明

 上記の最適化問題についての解を$\textbf{x}^* = (x_1^* , x_2^*)$とすると、$\textbf{x}^*$の値は、$E$の値で決まることになります。このことから、$x_1^* = x_1^*(E)$、$x_2^* = x_2^*(E)$と表すことができ、目的関数$u(x_1 , x_2)$と制約条件$f(x_1 , x_2) \; – \; E$に代入すると、次のような関数$U, F$を考えることができます。

  $U(E) = u(x_1^*(E) , x_2^*(E))$

  $F(E) = f(x_1^*(E) , x_2^*(E)) \; – \; E$

 この2式に関し、$E$について微分すると、

  $\displaystyle U'(E^*) = \dfrac{\partial u(\textbf{x}^*)}{\partial x_1} \dfrac{d x_1}{d E} E^* + \dfrac{\partial u(\textbf{x}^*)}{\partial x_2} \dfrac{d x_2}{d E} E^* \cdots (2)$

  $\displaystyle F'(E^*) = \dfrac{\partial f(\textbf{x}^*)}{\partial x_1} \dfrac{d x_1}{d E} E^* + \dfrac{\partial f(\textbf{x}^*)}{\partial x_2} \dfrac{d x_2}{d E} E^* \; – \; 1 \cdots (3)$

となります。

 ここで、$\textbf{x}^*$が$(1)$式の解ならば、1階条件として$\nabla u(\textbf{x}^*) = \lambda^* \nabla f(\textbf{x}^*)$が成り立つので、

  $\displaystyle \dfrac{\partial u(\textbf{x}^*)}{\partial x_1} = \lambda^* \dfrac{\partial f(\textbf{x}^*)}{\partial x_1} , \dfrac{\partial u(\textbf{x}^*)}{\partial x_2} = \lambda^* \dfrac{\partial f(\textbf{x}^*)}{\partial x_2}$

という式が得られるので、$(2)$式に代入すると、$U'(E^*)$は、次のようになります。

  $\displaystyle U'(E^*) = \lambda^* \left[ \dfrac{\partial f(\textbf{x}^*)}{\partial x_1} \dfrac{d x_1}{d E} E^* + \dfrac{\partial f(\textbf{x}^*)}{\partial x_2} \dfrac{d x_2}{d E} E^* \right] \cdots (4)$

 他方、$F(E)$については、$F'(E)=0$なので、$(3)$式は、

  $\displaystyle \dfrac{\partial f(\textbf{x}^*)}{\partial x_1} \dfrac{d x_1}{d E} E^* + \dfrac{\partial f(\textbf{x}^*)}{\partial x_2} \dfrac{d x_2}{d E} E^* = 1$

となり、これを$(4)$式に代入すると、

  $\displaystyle U'(E^*) = \lambda^* \left[ \dfrac{\partial f(\textbf{x}^*)}{\partial x_1} \dfrac{d x_1}{d E} E^* + \dfrac{\partial f(\textbf{x}^*)}{\partial x_2} \dfrac{d x_2}{d E} E^* \right] = \lambda^*$

を得ることができます。

 これについて、分かりやすく表記を変えると、次のようになります。

  $\displaystyle U'(E^*) = \dfrac{\partial U(x_1^*(E^*) , x_2^*(E^*))}{\partial E^*} = \dfrac{\partial u(x_1^* , x_2^*)}{\partial E^*} = \lambda^*$

参考

  入谷純・加茂知幸『経済数学

  ピーター・バーク、クヌート・シュドセーテル『エコノミスト数学マニュアル

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