そもそも偏差値って何? 偏差値についてその意味・考え方を説明!

学力を測る指標として、当たり前に使われている偏差値。ところで、偏差値の意味や考えは知っているでしょうか。改めて、偏差値の意味や考えを説明します。
中級

概要

 受験にあたり、「偏差値」というものが当たり前に使われています。
 偏差値が50ならば、○○大学にいけそうだとか、東大に入るには偏差値が70以上必要だとかです。

 ところで、この当たり前に使っている偏差値について、どこまで理解しているでしょうか。
 改めて、偏差値の意味や考え方を説明します。

偏差値の定義

 母集団のあるデータ x_i \, (i=1,\cdots , n) について、平均を \mu 、標準偏差 \sigma とすると、偏差値は、次のように定義されます。

  50 + 10 \times \dfrac{x_i - \mu}{\sigma}

偏差値の意味・考え

 定義としては、上記の通りなのですが、その意味は、次の通りです。

  「平均を50、標準偏差を10とした場合のデータの評価」

 ここで、(x_i - \mu) / \sigma は、平均0、標準偏差1であり、これに10を掛けて、50を足して、偏差値が定義されています。

 ただ、(x_i - \mu) / \sigma というのは、少しややこしい式になっています。

 なぜ、このような式になっているのかと言えば、そのデータについて、平均0、標準偏差1となるように、標準化をおこなっているからです。データは必ずしも、平均0、標準偏差1となるわけではないので、このようになるように数値変換しているわけです。

標準化について

 上記のように、(x_i - \mu) / \sigma とすれば、平均0、標準偏差1と標準化できるのかを説明します。

 あるデータx について、一次変換をして、z= ax +b というものを考えると、z の平均・標準偏差について、x \, , \, zについて、平均を\mu_x \, , \, \mu_z、標準偏差を\sigma_x \, , \, \sigma_z としたとき、次のような関係があります。
 (なお、この関係について、詳しく知りたければ、「平均・分散・標準偏差の1次変換について」を見てください)

  \mu_z = a \mu_x +b

  \sigma_z = \left| a \right| \sigma_x

 このとき、偏差値の式について、

  z= \dfrac{x_i - \mu}{\sigma}

として、a= 1/\sigma \, , \, b= -\mu / \sigma と考えると、

  \mu_z = \dfrac{\mu}{\sigma} -\mu / \sigma = 0

  \sigma_z = \left| \dfrac{1}{\sigma} \right| \sigma = 1

となり、平均が0、標準偏差が1であることが分かります。

統計学
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