概要
受験にあたり、「偏差値」というものが当たり前に使われています。
偏差値が50ならば、○○大学にいけそうだとか、東大に入るには偏差値が70以上必要だとかです。
ところで、この当たり前に使っている偏差値について、どこまで理解しているでしょうか。
改めて、偏差値の意味や考え方を説明します。
偏差値の定義
母集団のあるデータ $ x_i \, (i=1,\cdots , n)$ について、平均を $ \mu$ 、標準偏差 $ \sigma$ とすると、偏差値は、次のように定義されます。
$ 50 + 10 \times \dfrac{x_i – \mu}{\sigma}$
偏差値の意味・考え
定義としては、上記の通りなのですが、その意味は、次の通りです。
「平均を50、標準偏差を10とした場合のデータの評価」
ここで、$ (x_i – \mu) / \sigma$ は、平均0、標準偏差1であり、これに10を掛けて、50を足して、偏差値が定義されています。
ただ、$ (x_i – \mu) / \sigma$ というのは、少しややこしい式になっています。
なぜ、このような式になっているのかと言えば、そのデータについて、平均0、標準偏差1となるように、標準化をおこなっているからです。データは必ずしも、平均0、標準偏差1となるわけではないので、このようになるように数値変換しているわけです。
標準化について
上記のように、$ (x_i – \mu) / \sigma$ とすれば、平均0、標準偏差1と標準化できるのかを説明します。
あるデータ$ x$ について、一次変換をして、$ z= ax +b$ というものを考えると、$ z$ の平均・標準偏差について、$ x \, , \, z$について、平均を$ \mu_x \, , \, \mu_z$、標準偏差を$ \sigma_x \, , \, \sigma_z$ としたとき、次のような関係があります。
（なお、この関係について、詳しく知りたければ、「平均・分散・標準偏差の1次変換について」を見てください）
$ \mu_z = a \mu_x +b$
$ \sigma_z = \left| a \right| \sigma_x$
このとき、偏差値の式について、
$ z= \dfrac{x_i – \mu}{\sigma}$
として、$ a= 1/\sigma \, , \, b= -\mu / \sigma$ と考えると、
$ \mu_z = \dfrac{\mu}{\sigma} -\mu / \sigma = 0$
$ \sigma_z = \left| \dfrac{1}{\sigma} \right| \sigma = 1$
となり、平均が0、標準偏差が1であることが分かります。