そもそも偏差値って何？　偏差値についてその意味・考え方を説明！

学力を測る指標として、当たり前に使われている偏差値。ところで、偏差値の意味や考えは知っているでしょうか。改めて、偏差値の意味や考えを説明します。

概要

　受験にあたり、「偏差値」というものが当たり前に使われています。
　偏差値が50ならば、○○大学にいけそうだとか、東大に入るには偏差値が70以上必要だとかです。

　ところで、この当たり前に使っている偏差値について、どこまで理解しているでしょうか。
　改めて、偏差値の意味や考え方を説明します。

偏差値の定義

　母集団のあるデータ $x_i \, (i=1,\cdots , n)$ について、平均を $\mu$ 、標準偏差 $\sigma$ とすると、偏差値は、次のように定義されます。

　　 $50 + 10 \times \dfrac{x_i - \mu}{\sigma}$

偏差値の意味・考え

　定義としては、上記の通りなのですが、その意味は、次の通りです。

　　「平均を50、標準偏差を10とした場合のデータの評価」

　ここで、 $(x_i - \mu) / \sigma$ は、平均0、標準偏差1であり、これに10を掛けて、50を足して、偏差値が定義されています。

　ただ、 $(x_i - \mu) / \sigma$ というのは、少しややこしい式になっています。

　なぜ、このような式になっているのかと言えば、そのデータについて、平均0、標準偏差1となるように、標準化をおこなっているからです。データは必ずしも、平均0、標準偏差1となるわけではないので、このようになるように数値変換しているわけです。

標準化について

　上記のように、 $(x_i - \mu) / \sigma$ とすれば、平均0、標準偏差1と標準化できるのかを説明します。

　あるデータ $x$ について、一次変換をして、 $z= ax +b$ というものを考えると、 $z$ の平均・標準偏差について、 $x \, , \, z$ について、平均を $\mu_x \, , \, \mu_z$ 、標準偏差を $\sigma_x \, , \, \sigma_z$ としたとき、次のような関係があります。
　（なお、この関係について、詳しく知りたければ、「平均・分散・標準偏差の1次変換について」を見てください）

　　 $\mu_z = a \mu_x +b$

　　 $\sigma_z = \left| a \right| \sigma_x$

　このとき、偏差値の式について、

　　 $z= \dfrac{x_i - \mu}{\sigma}$

として、 $a= 1/\sigma \, , \, b= -\mu / \sigma$ と考えると、

　　 $\mu_z = \dfrac{\mu}{\sigma} -\mu / \sigma = 0$

　　 $\sigma_z = \left| \dfrac{1}{\sigma} \right| \sigma = 1$

となり、平均が0、標準偏差が1であることが分かります。

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