概要
受験にあたり、「偏差値」というものが当たり前に使われています。
偏差値が50ならば、○○大学にいけそうだとか、東大に入るには偏差値が70以上必要だとかです。
ところで、この当たり前に使っている偏差値について、どこまで理解しているでしょうか。
改めて、偏差値の意味や考え方を説明します。
偏差値の定義
母集団のあるデータ について、平均を
、標準偏差
とすると、偏差値は、次のように定義されます。
偏差値の意味・考え
定義としては、上記の通りなのですが、その意味は、次の通りです。
「平均を50、標準偏差を10とした場合のデータの評価」
ここで、 は、平均0、標準偏差1であり、これに10を掛けて、50を足して、偏差値が定義されています。
ただ、 というのは、少しややこしい式になっています。
なぜ、このような式になっているのかと言えば、そのデータについて、平均0、標準偏差1となるように、標準化をおこなっているからです。データは必ずしも、平均0、標準偏差1となるわけではないので、このようになるように数値変換しているわけです。
標準化について
上記のように、 とすれば、平均0、標準偏差1と標準化できるのかを説明します。
あるデータ について、一次変換をして、
というものを考えると、
の平均・標準偏差について、
について、平均を
、標準偏差を
としたとき、次のような関係があります。
(なお、この関係について、詳しく知りたければ、「平均・分散・標準偏差の1次変換について」を見てください)
このとき、偏差値の式について、
として、 と考えると、
となり、平均が0、標準偏差が1であることが分かります。