経済学における位相図の描き方（2変数）

はじめに

　経済学の動学モデルにおいて、例えば、最適成長モデルのように、位相図を描く必要があるときがあります。
　図に矢印を書くだけの話なのですが、変数がどのように動いていくかを知るためには、重要です。

　ここでは、2変数の場合において、位相図の描き方を説明したいと思います。

　$t$期における2つの変数$x \, , \, y$について、次のような微分方程式であるとしましょう。

　　$\dfrac{dx}{dt} = f(x \, , \, y)$

　　$\dfrac{dy}{dt} = g(x \, , \, y)$

　このときの位相図の描き方について、順序を追って説明していきたいと思います。

　まず、$dx/dt=0$と$dy/dt=0$をそれぞれ解き、ゼロ変化曲線を描きます。

　　$f(x \, , \, y)=0 \quad , \quad g(x \, , \, y)=0$

　これらを$y$について解ける場合には、それぞれ$y=h(x)$、$y=q(x)$と書けます。$f$や$g$の導関数を表す$f'(x)$、$g'(x)$とは異なります。また、必ず$y$について解けるとは限りません。

　次に、曲線で区切られた各領域から点を選び、$f(x \, , \, y)$と$g(x \, , \, y)$の符号を調べます。$f>0$なら右、$f<0$なら左、$g>0$なら上、$g<0$なら下に矢印を向けます。曲線の上側・下側という位置だけでは、変化の符号は決まりません。

　例えば、次の動学モデルを考えます。

　　$\dfrac{dx}{dt}=y-x \quad , \quad \dfrac{dy}{dt}=1-x-y$

　$x$のゼロ変化曲線は$y=x$、$y$のゼロ変化曲線は$y=1-x$です。横軸に$x$、縦軸に$y$をとり、この2本の直線を描きます。

　$y>x$の領域では$dx/dt>0$なので右向き、$y0$なので上向き、$y>1-x$では下向きです。両方の向きを組み合わせれば、各領域の矢印が決まります。

　定常点では$dx/dt=dy/dt=0$です。上の例では$y=x$と$y=1-x$の交点なので、$(x^*,y^*)=(1/2,1/2)$となります。一般のモデルでも、$f(x,y)=0$と$g(x,y)=0$を同時に満たす点を求めます。

　どうもイメージがつかないという方のために、実際の数値例を用意していますので、こちらも見てください。