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プロビット・モデルについて

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投稿計量経済学中級
計量経済学において、被説明変数が二値データをとるときに使われるプロビット・モデルについて、説明しています。
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はじめに

 計量経済学のモデルにおいて、被説明変数が質的変数であることがあります。

 例えば、大学入学試験の合否、持ち家の有無などのように、0か1というデータがあるとき、何が大学入学試験の合否に影響を与えているのかを見たいなど、その0・1のデータが被説明変数となることがあります。

 このようなときには、通常の回帰分析を行うと、予測値が0から1の範囲に収まらない可能性ができてくるので、工夫が必要となります。

 そしてそのベーシックな方法として、プロビット・モデルがあります。

プロビット・モデル

モデル

 被説明変数を$Y_i$とし、$Y_i$は$0$か$1$の値しかとらないとします。そしてその説明変数を$X_i$とします。
 一般的には、

  $Y_i = \alpha + \beta X_i$

というモデルを考えますが、上記の通り、これでは予測値$\hat{Y_i}$が$0$から$1$の範囲内にならないことが予想されます。

 そこで、母集団に関してベルヌーイ分布に従うとし、その生起確率が標準正規分布に従うと仮定します。

 $\Phi$を標準正規分布の累積分布関数とすると、$Y_i =1$の生起確率が、$X_i$に依存するような条件つき確率$p_i$を、次のように仮定できます。

  $p_i = P(Y_i = 1 | X_i) = \Phi(\alpha + \beta X_i) \quad \cdots \quad (1)$

 これにより、$\alpha + \beta X_i$は、$0$から$1$の範囲に収まることになり、累積分布関数なので、$\alpha + \beta X_i$が大きくなるほど、$1$に近づくことになります。

 なお、$Y_i$の条件付き期待値を求めると、

  $E(Y_i | X_i) = 0 \cdot (1 \; – \; p_i) + 1 \cdot p_i = P(Y_i = 1 | X_i) = \Phi(\alpha + \beta X_i)$

であり、$(1)$式は$X_i$から$Y_i$への回帰モデルになっていることが分かります。

推定

 $(1)$式を推定することを考えますが、$(1)$式は非線形なので、通常の線形回帰は使えないので、最尤法を用いる必要があります。

 $(1)$式を用いて、尤度関数$L$を定義すると、

  $\displaystyle L(\alpha \, , \, \beta) = \prod_i^n (1 \; – \; \Phi(\alpha + \beta X_i))^{1-Y_i} \cdot \Phi(\alpha + \beta X_i)^{Y_i}$

となり、対数尤度関数は

  $\displaystyle \ln L(\alpha \, , \, \beta) = \sum_{i=1}^n (1 \; – \; Y_i)(1 \; – \; \Phi(\alpha + \beta X_i)) + \sum_{i=1}^n Y_i \Phi(\alpha + \beta X_i)$

を得ることができます。そこで、この式から、パラメーター$\alpha$と$\beta$を最大化し、最尤推定量を得ることができます。

 なお、当てはまりについては、回帰分析の決定係数などは使えないので、尤度比指数などが用いられます。

   尤度比指数(LRI)について

限界効果

 モデルの目的は、$X_i$が変化したとき、$Y_i=1$となるような確率はどれだけ変化するかという点にあります。
 この点から、プロビット・モデルで推計した$\beta$はそのような意味をもっていません。

 ですので、プロビット・モデルにおいては、次のような限界効果が重要となります(なお、$\phi$は、累積分布関数$\Phi$の密度関数です)。

  $\dfrac{d p_i}{d X_i} = \phi(\alpha + \beta X_i) \beta$

 これを計算すれば、$X_i$が変化したとき、$p_i$がどうなるのかが分かりますが、この式から分かるように、添え字$i$がついており、$X_i$によって、限界効果が変わることになります。

 そこで、限界効果を計算するには、$X_i$の平均値を使用したり、$\alpha + \beta X_i$の平均値(この式では$X_i$の平均値と同じですが、説明変数が多変量の場合、異なります)を使って、計算します。
 

参考

  黒住英司『計量経済学

  鹿野繁樹『新しい計量経済学

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