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等比級数の和について

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はじめに

　等比級数とは、

　　 $a \, , \, ax \, , \, ax^2 \, , \, a x^3 \, , \, \cdots$

というようなもので、有限の場合には、等比級数の和は

　　 $X = a + a x +a x^2 + a x^3 + \quad \cdots \quad a x^n \quad \cdots \quad (1)$

というような式のことです。

　数学的には初歩的なものですが、経済学では当たり前のように出てくるので、改めて公式や導出方法について、説明します。

有限等比級数の和

　有限の等比級数の和である $(1)$ 式を考えましょう。

　　 $X = a + a x +a x^2 + a x^3 + \quad \cdots \quad a x^n$

　この式に、 $x$ を掛けると、

　　 $xX = a x + a x^2 + a x^3 + \quad \cdots \quad a x^{n+1} \quad \cdots \quad (2)$

が得られます。
　そして、 $(1)$ 式から $(2)$ 式を引くと、

　　 $X - xX = (a + a x +a x^2 + a x^3 + \quad \cdots \quad a x^n) - ( a x +a x^2 + a x^3 + \quad \cdots \quad a x^{n+1})$

となり、この式を整理すると、

　　 $(1-x)X = a - ax^{n+1}$

から、次のような等比級数の和の公式が得られます。

　　 $X = a \dfrac{1 - x^{n+1}}{1-x} \quad \cdots \quad (3)$

無限等比級数の和

　次に、次のような無限等比級数の和を考えましょう。

　　 $X = a + a x +a x^2 + a x^3 + \quad \cdots$

　これは、有限の等比級数の和である $(3)$ 式について、 $n \rightarrow \infty$ としたものなので、

　　 $\displaystyle X = \lim^n_{n \rightarrow \infty} \left( a \dfrac{1 - x^{n+1}}{1-x} \right)$

と置き換えることができ、この式を整理すると、

　　 $X = a \dfrac{1}{1-x} \quad \cdots \quad (4)$

という無限等比級数の和の公式を得ることができます。

例

　無限等比級数の和の公式を用いた例として、投資プロジェクトを考えます。

　この投資プロジェクトは、最初に $C$ の費用が発生し、次の期から毎期 $\pi$ の利益を得ることができるとします。そして、割引率を $r$ とすると、この投資プロジェクトの価値 $V$ は、次のようになります。

　　 $\displaystyle V = \left[ \frac{\pi}{1+r} + \frac{\pi}{(1+r)^2} + \frac{\pi}{(1+r)^3} + \quad \cdots \right] - C$

　この式について、無限等比級数の和の公式 $(4)$ を用いて、 $x= 1/(1+r)$ とすると、

　　 $\displaystyle V = \left[ \dfrac{\pi}{1-\dfrac{1}{1+r}} - \pi \right] - C$

となります（なお、 $-\pi$ というものがあるのは、この式では、無限等比級数の和の公式の右辺第1項の $a$ がないためです）。

　そして、式を整理すると、

　　 $\displaystyle V = \dfrac{\pi}{r} - C$

という式を得ることができます。
　すなわち、この投資プロジェクトの価値は、毎期の利益 $\pi$ を割引率 $r$ で割ったものから、費用 $C$ を差し引いた額になります。

最後に

　式としては難しいものではありませんが、比較的よく使われるので、覚えておきましょう。
　（覚えておかなくても、簡単に導出できるとも言えますが…）

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