はじめに
等比級数とは、
というようなもので、有限の場合には、等比級数の和は
というような式のことです。
数学的には初歩的なものですが、経済学では当たり前のように出てくるので、改めて公式や導出方法について、説明します。
有限等比級数の和
有限の等比級数の和である式を考えましょう。
この式に、を掛けると、
が得られます。
そして、式から
式を引くと、
となり、この式を整理すると、
から、次のような等比級数の和の公式が得られます。
無限等比級数の和
次に、次のような無限等比級数の和を考えましょう。
これは、有限の等比級数の和である式について、
としたものなので、
と置き換えることができ、この式を整理すると、
という無限等比級数の和の公式を得ることができます。
例
無限等比級数の和の公式を用いた例として、投資プロジェクトを考えます。
この投資プロジェクトは、最初にの費用が発生し、次の期から毎期
の利益を得ることができるとします。そして、割引率を
とすると、この投資プロジェクトの価値
は、次のようになります。
この式について、無限等比級数の和の公式を用いて、
とすると、
となります(なお、というものがあるのは、この式では、無限等比級数の和の公式の右辺第1項の
がないためです)。
そして、式を整理すると、
という式を得ることができます。
すなわち、この投資プロジェクトの価値は、毎期の利益を割引率
で割ったものから、費用
を差し引いた額になります。
最後に
式としては難しいものではありませんが、比較的よく使われるので、覚えておきましょう。
(覚えておかなくても、簡単に導出できるとも言えますが…)