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投稿経済数学入門

等比級数の和について

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等比級数の和の公式やその導出方法について、説明しています。
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はじめに

 等比級数とは、

  a \, , \, ax \, , \, ax^2 \, , \, a x^3 \, , \, \cdots

というようなもので、有限の場合には、等比級数の和は

  X = a + a x +a x^2 + a x^3 + \quad \cdots \quad a x^n \quad \cdots \quad (1)

というような式のことです。

 数学的には初歩的なものですが、経済学では当たり前のように出てくるので、改めて公式や導出方法について、説明します。

有限等比級数の和

 有限の等比級数の和である(1)式を考えましょう。

  X = a + a x +a x^2 + a x^3 + \quad \cdots \quad a x^n

 この式に、xを掛けると、

  xX = a x + a x^2 + a x^3 + \quad \cdots \quad a x^{n+1} \quad \cdots \quad (2)

が得られます。
 そして、(1)式から(2)式を引くと、

  X - xX = (a + a x +a x^2 + a x^3 + \quad \cdots \quad a x^n) - ( a x +a x^2 + a x^3 + \quad \cdots \quad a x^{n+1})

となり、この式を整理すると、

  (1-x)X = a -  ax^{n+1}

から、次のような等比級数の和の公式が得られます。

  X = a \dfrac{1 - x^{n+1}}{1-x} \quad \cdots \quad (3)

無限等比級数の和

 次に、次のような無限等比級数の和を考えましょう。

  X = a + a x +a x^2 + a x^3 + \quad \cdots

 これは、有限の等比級数の和である(3)式について、n \rightarrow \inftyとしたものなので、

  \displaystyle X = \lim^n_{n \rightarrow \infty} \left( a \dfrac{1 - x^{n+1}}{1-x} \right)

と置き換えることができ、この式を整理すると、

  X = a \dfrac{1}{1-x} \quad \cdots \quad (4)

という無限等比級数の和の公式を得ることができます。

 無限等比級数の和の公式を用いた例として、投資プロジェクトを考えます。

 この投資プロジェクトは、最初にCの費用が発生し、次の期から毎期\piの利益を得ることができるとします。そして、割引率をrとすると、この投資プロジェクトの価値Vは、次のようになります。

  \displaystyle V = \left[ \frac{\pi}{1+r} + \frac{\pi}{(1+r)^2} + \frac{\pi}{(1+r)^3} + \quad \cdots \right] - C

 この式について、無限等比級数の和の公式(4)を用いて、x= 1/(1+r)とすると、

  \displaystyle V = \left[ \dfrac{\pi}{1-\dfrac{1}{1+r}} - \pi \right] - C

となります(なお、-\piというものがあるのは、この式では、無限等比級数の和の公式の右辺第1項のaがないためです)。

 そして、式を整理すると、

  \displaystyle V = \dfrac{\pi}{r} - C

という式を得ることができます。
 すなわち、この投資プロジェクトの価値は、毎期の利益\piを割引率rで割ったものから、費用Cを差し引いた額になります。

最後に

 式としては難しいものではありませんが、比較的よく使われるので、覚えておきましょう。
 (覚えておかなくても、簡単に導出できるとも言えますが…)

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