はじめに
時系列分析において、次のような1次の自己回帰モデル（AR(1)モデル）を考えるとします。
$y_t = c + \alpha y_{t-1} + u_t \quad \cdots \quad (1)$
なお、$|\alpha|<1$で定常性の条件を満たしており、$u_t$はホワイトノイズとします。
このとき、このAR(1)モデルは、MA(∞)モデルに変形することができます。
変形
$(1)$式において、次のように逐次的に代入していくことを考えます。
$y_t = c + \alpha y_{t-1} + u_t$
$= c + \alpha (c + \alpha y_{t-2} + u_{t-1}) + u_t = (1 + \alpha)c + \alpha^2 y_{t-2} + (u_t + \alpha u_{t-1})$
$= (1 + \alpha)c + \alpha^2 (c + \alpha y_{t-3} + u_{t-2}) + (u_t + \alpha u_{t-1})$
$= (1 + \alpha + \alpha^2)c + \alpha^3 y_{t-3} + (u_t + \alpha u_{t-1} +\alpha^2 u_{t-2})$
$\vdots$
$\displaystyle = (1 + \alpha + \cdots + \alpha^{t-1})c + \alpha^t y_0 + \sum_{i=0}^{t-1} u_{t-i}$
ここで、無限大までさかのぼるとし、定常性の条件$|\alpha|<1$から、
$\displaystyle y_t = \dfrac{c}{1 \; – \; \alpha} + \sum_{i=0}^{\infty} \alpha^i u_{t-i} \quad \cdots \quad (2)$
となり、正しくMA(∞)モデルとなることが分かります。
平均・分散・共分散
$(2)$式から、平均・分散・共分散を求めてみましょう。
$u_t$はホワイトノイズなので、平均と分散は
$E(y_i) = \dfrac{c}{1 \; – \; \alpha}$
$\displaystyle Var(y_i) =\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{2i} \sigma^2 = \dfrac{\sigma^2}{1 \; – \; \alpha^2}$
となります。
共分散については、まずは1期差の共分散を見てみると
$\displaystyle Cov(y_i \, , \, y_{t-1}) =E \left[ \left( \sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i} u_{t-i} \right) \left( \sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i} u_{t-i-1} \right) \right] = \sigma^2 \sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{2i+1} = \dfrac{\sigma^2 \alpha}{1 \; – \; \alpha^2} = \alpha Var(y_i)$
であることから、
$\displaystyle Cov(y_i \, , \, y_{t-k}) = \alpha^k Var(y_i)$
となります。なお、この式から、$y_t$は共分散定常であることが分かります。
参考
山本拓『経済の時系列分析』
黒住英司『計量経済学』