推定量の評価基準

あるパラメーターを推定したとき、どのような推定量が望ましいのかを示す基準である不偏性・一致性・有効性について、説明します。

概要

　ある母集団について、未知のパラメーターを推定したとき、その推定方法でいろいろな推定結果（推定量）が得られます。
　ただそれでは、どの推定がいいのか判断ができず、困ってしまうことになります。

　また、言い換えれば、ある方法で推定をしたとき、その推定量で本当にいいのかという疑問が生じます。

　例えば、

　「2つの方法で分散 $\sigma_1 \, , \, \sigma_2$ を推定した場合、どちらの分散を使えばいいの？」

　「分散 $\sigma$ について、最尤法などのある方法で推定した場合、その分散 $\hat{\sigma}$ はそのまま使用してよいの？」

　このような疑問に答えるべく、統計学・計量経済学においては、不偏性・一致性・有効性という基準を満たす推定量が望ましいとされます。
　そこで、以下では、不偏性・一致性・有効性について、説明したいと思います。

判断基準

　不偏性・一致性・有効性の説明にあたり、共通する部分として、ある母集団のパラメーター $\theta$ を、 $n$ 個の標本で推定するとし、その推定量を $\hat{\theta}_n$ とします。

不偏性

　不偏性とは、推定量は確率変数なので、その期待値が母集団のパラメーターと一致するというものです。

　　 $E(\hat{\theta}_n) = \theta$

　これが成立しているとき、 $\hat{\theta}_n$ は「不偏推定量」と呼ばれます。

一致性

　不偏性が成立すればいいのですが、標本数が有限な場合には不偏推定量にならないこともあります。
　このとき、標本数を多くしていったときに、母集団のパラメーターに近づいていくことが望ましいと言えます。
　平易に言い換えれば、本当の値は得られないならば、標本数が多くなれば、より本当の値に近いものが望ましいという考えです。
　そこで、

　　 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \hat{\theta}_n = \theta$