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ベイズの定理に関する問題

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問題経済数学初級
ベイズの定理に関する初歩的な問題です。
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【問題】
 箱に黒玉と白玉が入っており、箱から2回、玉を取り出す場合を考えます。
 箱の中には、黒玉が$b$個、白玉が$w$個入っているとします。そして、1回目に取り出した色の玉を$c$個付け加えて、箱の中に戻すとします。

 このとき、2回目に黒玉を引き当てたことだけを知っているとき、1回目に黒玉を引き当てた可能性はどうなりますか。

※「▶」をクリックすると、回答を見ることができます。

【回答】 

 1回目に黒玉を引く事象を$A$として、白玉を引く事象(黒玉を引く事象の余事象)を$\bar{A}$とします、
 このとき、1回目の黒玉、白玉を引く確率は、次の通りです。

  $P(A) = \dfrac{b}{b + w}$

  $P(\bar{A}) = \dfrac{w}{b + w}$

 2回目に黒玉を引く事象を$B$とすると、1回目に黒玉を引いたときには、黒玉が$c$個増えているので、

  $P(B | A) = \dfrac{b + c}{b + w + c}$

であり、1回目に白玉を引いたときには、白玉が$c$個増えているので、

  $P(B | \bar{A}) = \dfrac{b}{b + w + c}$

となります。

 この上で、2回目に黒玉を引くという事象$B$についての確率は、完全確率の定理を用いると、

  $P(B) = P(A)P(B |A) + P(\bar{A})P(B | \bar{A}) = \dfrac{b}{b + w} \cdot \dfrac{b + c}{b + w + c} + \dfrac{w}{b + w} \cdot \dfrac{b}{b + w + c} = \dfrac{b}{b + w}$

 ※完全確率の定理については、「確率論における完全確率の定理について

であり、2回目に黒玉を引く確率は$b/(b+w)$となります。

 以上を踏まえ、2回目に黒玉であることを知った上で、1回目の黒玉の確率を知りたいので、$P(A | B)$を求めることになります。
 ベイズの定理を用いると、

  $P(A | B) = \dfrac{P(A) P(B | A)}{P(B)}$

 ※ベイズの定理については、「確率論におけるベイズの定理について

であるので、

  $P(A | B) = \left. \dfrac{b}{b + w} \cdot \dfrac{b + c}{b + w + c} \middle/ \dfrac{b}{b + w} \right. = \dfrac{b + c}{b + w + c}$

となります。

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