定理
$\Omega$を全事象とし、$B_1 \, , \, B_2 \, , \cdots$を、次を満たすような互いに排反する事象とします。
$B_1 \cup B_2 \cup \cdots = \Omega$
$P(B_i) \neq 0 \quad (i = 1 \, , \, 2 \, , \cdots)$
このとき、$P(A) \neq 0$であるような任意の事象$A$について、
$P(B_i | A) = \dfrac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + \cdots} \quad (i = 1 \, , \, 2 \, , \cdots)$
が成り立ちます。
そして、このとき、$P(B_i)$を事前確率、$P(B_i | A)$を事後確率と言います。
なお、これは一般的な場合ですが、$n=1$で、事象が$A$と$B$だけの場合には、ベイズの定理は、次のようになります。
$P(B | A) = \dfrac{P(B)P(A|B)}{P(A)}$
証明
条件つき確率の定義から、
$P(B_i | A) = \dfrac{P(B_i \cap A)}{P(A)}$
であり、分子については乗法定理、分母については完全確率の定理を用いると、
$P(B_i | A) = \dfrac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + \cdots} \quad (i = 1 \, , \, 2 \, , \cdots)$
であり、ベイズの定理が成り立ちます。