不完全競争と完全競争が一致するクールノー極限定理（数式）

はじめに

　クールノー・ゲーム（クールノー寡占市場ゲーム）では、複数の企業が存在し、企業の利潤は自社の生産量だけではなく、他社の生産量にも影響を受けます。
　そしてこのときの市場全体の生産量は、完全競争よりも少ない水準となり、各企業は完全競争よりも多くの利潤を獲得できることが知られています。

　　寡占市場におけるクールノー・ゲームについて（数式）

　ただし、企業数が多いときには、クールノー極限定理によりそうはなりません。
　クールノー極限定理とは、次のようなものです。

企業数が無限大に近づくとき、クールノー・ゲームによる市場全体の生産量は、完全競争による市場全体の生産量に近づく

　すなわち、クールノー・ゲームのように、不完全競争であっても、企業数が多ければ、完全競争が実現されることを示しています。

　このクールノー極限定理について、数式で説明ます。

クールノー極限定理

クールノー・ゲーム

　企業数を$n$とし、各企業の生産量を$x_i$、市場全体の生産量を$X$とします。

　　$X = x_1 \, , \; \cdots \; , \, x_n$

　財の価格を$p$とすると、クールノー・ゲームなので、各企業は、次のような逆需要関数に直面している場合を考えます。

　　$p = a \; – \; b X$

　これにより、各企業は他の企業の生産量も踏まえ、生産を行い価格にも影響を与えることになります。

　そして各企業は、生産量の単位費用を$c$とすると、次のような利潤$\pi_i$となります。

　　$\displaystyle \pi_i = p x_i \; – \; c x_i = \left( a \; – \; b \sum_{i=1}^n) x_i \right) x_i \; – \; c x_i$

　各企業は利潤の最大化を図るため、

　　$\displaystyle \dfrac{d \pi_i}{d x_i} = a \; – \; b _xi – \; b \sum_{i=1}^n) x_i \; – \; c = 0$

が成立します。ところで、各企業は同質的なので、$X = n x_i$になることに注意し、これを整理すると、

　　$x_i = \dfrac{a \; – \; c}{b(n + 1)}$
　
が各企業の生産量となり、市場全体の生産量は、次のようになります。

　　$X = n x_i = \dfrac{n(a \; – \; c)}{b(n + 1)}$

　そして、価格と利潤は、次のようになります。

　　$p = \dfrac{a + nc}{n + 1}$

　　$\pi = \dfrac{(a \; – \; c)^2}{b (n+1)^2}$

完全競争の場合

　クールノー極限定理を考える前に、完全競争の場合の生産量などを求めておきましょう。
　完全競争では、各企業は、次のような利潤を最大化することになります。

　　$\displaystyle \pi_i = p x_i \; – \; c x_i$

　完全競争なので、価格$p$についてプライステーカーとして企業は行動することから、一階の条件は

　　$p = c$

となり、価格の式が得られます。そして、逆需要関数から、市場全体の生産量と各企業の生産量は　

　　$X = \dfrac{a \; – \; c}{b}$

　　$x_i = \dfrac{a \; – \; c}{bn}$

であり、利潤は

　　$\pi_i = 0$

となります。

クールノー極限定理

　以上をまとめると、次のようになります。

　クールノー・ゲームの場合において、企業数が無限大になったときを考えます。

　市場全体の生産量については、$\lim_{n \rightarrow \infty} n /(n+1) =1$であることに注意すると、

　　$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{n(a \; – \; c)}{b(n + 1)} = \dfrac{a \; – \; c}{b}$

　価格については、ロピタルの定理を考えると（ロピタルの定理は「ロピタルの定理について」を参照）、

　　$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{a + nc}{n + 1} = c$

　各企業の利潤については、

　　$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{(a \; – \; c)^2}{b (n+1)^2} = 0$

となり、完全競争の場合と一致することが分かります。

参考

　　奥野正寛（編著）『ミクロ経済学』

　　岡田章『ゲーム理論・入門』