偏微分と全微分

微分

　偏微分と全微分について、説明する前に、一般的な微分について、整理しておきましょう。

　関数$f(x)$を考えると、1階の微分の式は次のようになります。

　　$\displaystyle \dfrac{d f(x)}{d x}　=　\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(x + \Delta x)　-　f(x)}{\Delta x}$

　このように、$\Delta x$だけ（0にはならないが0に極端に近いように）増加したときの変化が微分ということになります。

　微分はあくまでも、変数が1つの場合ですが、変数が2つの関数$f(x , y)$を考えましょう。

　このとき、1つの変数だけが変化したときの微分が偏微分になります。

　　$\displaystyle \dfrac{\partial f(x , y)}{\partial x}　=　\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(x + \Delta x , y)　-　f(x , y)}{\Delta x}　\cdots　(1)$

　　$\displaystyle \dfrac{\partial f(x , y)}{\partial y}　=　\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \dfrac{f(y + \Delta x , y)　-　f(x , y)}{\Delta y}　\cdots　(2)$

　偏微分はいくつかの変数がある中で、1つの変数だけが変化したときの場合であるのに対して、全微分は全部の変数が変化したときの場合になります。

　2変数で考えると（$z = f(x , y)$）、次のようになります。

　　$\displaystyle d z　=　\dfrac{\partial f}{\partial x} d x　+　\dfrac{\partial f}{\partial y} d y　\cdots　(3)$

　このように、全微分の式は、偏微分した関数（$(1)$式や$(2)$式）にそれぞれの増分（$d x$や$d y$）を掛けたものを足し合わせたものになります。

　以上のように、多変数関数を考えたとき、

　　偏微分　⇒　そのうちの1つの変数が変化した場合

　　全微分　⇒　そのうちのすべての変数が変化した場合

　全微分はすべての変数が変化した場合ならば、単純に偏微分を足し合わせた式

　　$\displaystyle d z　=　\dfrac{\partial f}{\partial x}　+　\dfrac{\partial f}{\partial y}　\cdots　(4)$

のような形になるのではと思うかもしれません。

　言い方を変えると、

　　「何で、$d x$や$d y$のような余計なものがついてるの？」

と思うかもしれません。

　導出方法や考えた方などはさておき、簡単に言えば、$(4)$式は、$(3)$式において

　　$d x　= 1　,　d y　= 1$

としたときの特殊な場合に過ぎず、増分（$d x$や$d y$）が1という一定値になっていることに注意しましょう。