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大数の法則の導出方法

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投稿統計学中級
統計学における重要な概念である「大数の法則」の数学的な導出方法を説明しています。
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大数の法則

 統計学において、大数の法則とは、次のようなものです。

  $n$個の互いに独立な確率変数$X_i$について、$E(X_i) = \mu$、$V(X_i) = \sigma^2$が存在するものとする。
  このとき、標本数$n$を大きくすると、標本平均$\bar{X}$は、$\mu$に収束する

 この大数の法則について、導出方法を説明したいと思います。

大数の法則の導出方法

 標本平均$\bar{X}$は、次のような式になります。

  $\displaystyle \bar{X} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

 標本平均について、平均と分散をとると、

  $\displaystyle E(\bar{X}) = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \dfrac{1}{n} \cdot n \mu = \mu$

  $\displaystyle V(\bar{X}) = \dfrac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n V(X_i) = \dfrac{1}{n^2} \cdot n \sigma = \dfrac{\sigma^2}{n}$

を得ることができます。

 これを踏まえ、

  $P(\left| \, X – \mu \,\right| \geq \varepsilon) \, \leq \, \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$

というチェビチェフの不等式を考え、$X=\bar{X}$として、チェビチェフの不等式を当てはめると、

  $P(\left| \, \bar{X} – \mu \,\right| \geq \varepsilon) \, \leq \, \dfrac{V(\bar{X})}{\varepsilon^2} = \dfrac{\sigma^2}{n \varepsilon^2}$

となります。

 この式において、

  $\displaystyle \lim_{i \rightarrow \infty} \dfrac{\sigma^2}{n \varepsilon^2} = 0$

なので、

  $\displaystyle \lim_{i \rightarrow \infty} P(\left| \, \bar{X} – \mu \,\right| \geq \varepsilon) = 0$

となり、$n$が無限大に大きくなれば、標本平均$\bar{X}$は母平均$\mu$と一致(確率収束)することが分かります。

参考

  竹村彰通『現代数理統計学

  横山真一郎・関哲朗・横山真弘『基礎と実践 数理統計学入門

  国沢清典・羽鳥裕久『数理統計演習

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