スポンサーリンク
投稿経済数学中級

オイラーの定理について説明

スポンサーリンク
同次関数に関する定理である「オイラーの定理」について、説明しています。
スポンサーリンク
スポンサーリンク
スポンサーリンク

はじめに

 経済学においては、同次関数がよく出てきます。

 次のような式が成立する場合に、$f(\textbf{x})$は$k$次同次であるとされます。

  $f(t x_1 , \cdots , t x_n) = t^k f(x_1 , \cdots , x_n) (t>0) \cdots (1)$

 この同次関数について、オイラーの定理という便利な式があります。

オイラーの定理

 オイラーの定理とは、次のようなものです。

  $\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i f’_i(\textbf{x}) = k f(\textbf{x})$

 なお、この式は、$f(\textbf{x})$が$k$次同次であるための必要十分条件になっています。

導出方法
 $(1)$式について、$t$で微分すると、

  $f_1(t x_1 , \cdots , t x_n) \cdot x_1 + \cdots + f_n(t x_1 , \cdots , t x_n) \cdot x_n = k t^{k-1} f(\textbf{x})$

が得られ、$t=1$とすると、オイラーの定理を導出することができます。

n=2の場合

 上記の式では分かりにくい部分もあるかもしれませんので、$n=2$の場合のオイラーの定理を挙げておくと、

  $x_1 \dfrac{\partial f(x_1 , x_2)}{\partial x_1} + x_2 \dfrac{\partial f(x_1 , x_2)}{\partial x_2} = k f(x_1 , x_2)$

となります。

 次のようなコブ=ダグラス型生産関数をもとに、オイラーの定理について、例を挙げておきましょう。

  $Y = L^a K^{1-a}$

 まずはこの式は、

  $t Y = (t L)^a (t K)^{1-a} = t^a \cdot t^{1-a} L^a K^{1-a} = t L^a K^{1-a}$

ですので、1次同次関数であることが分かります。

 オイラーの定理に戻り、上記のコブ=ダグラス型生産関数について、左辺と右辺を計算してみましょう。

  (左辺)$a L^{a-1} K^{1-a} \cdot L + (1-a)L^a K^{-a} \cdot K = L^a K^{1-a}$

  (右辺)$1 \cdots Y = L^a K^{1-a}$

 これらから、左辺=右辺であり、オイラーの定理が成立していることが分かります。

参考

  ピーター・バーク、クヌート・シュドセーテル『エコノミスト数学マニュアル

  入谷純・加茂知幸『経済数学

スポンサーリンク
タイトルとURLをコピーしました