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投稿統計学中級

積率(モーメント)について

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分布の形状を特徴づける「積率(モーメント)」について、積率母関数も含め、説明します。
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 ある分布があるとき、その分布がどのような形状であるかを知りたいときがあります。

 この分布の形状を知るときに使われるものとして、積率(モーメント)があります。

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積率

原点の周りのn次モーメント
 原点の周りのn次モーメントを$m’_n$とすると、次のような式になります。

  $m’_n = E(X^n)$

 なお、この式から、1次のモーメントは、

  $m’_1 = E(X) = \mu$

であり、平均になります。

 また、2次のモーメントは、

  $m’_2 = E(X^2)$

であることから、分散を$\sigma$とすると、

  $\sigma = E(X^2) \; – \; (E(X))^2 = m’_2 \; – \; (m’_1)^2$

で表すことができます。

平均の周りのn次モーメント
 平均を$\mu$とし、平均の周りのn次モーメントを$m_n$とすると、次のような式になります。

  $m_n = E((X \; – \; \mu)^n)$

積率母関数

 モーメントを求めるにあたり、積率母関数$M(\theta)$が用いられることがあります。

 積率母関数は、次のように定義されます。

  $M(\theta) = E(e^{\theta X})$

 ここで、

  $\displaystyle e^{\theta X} = 1 + \dfrac{\theta X}{1 !} + \dfrac{(\theta X)^2}{2 !} + \cdots + \dfrac{(\theta X)^r}{r !} + \cdots$
  
という公式があるので、この式を使うと、積率母関数は、次のようになります。

  $\displaystyle M(\theta) = m’_0 + \dfrac{\theta}{1 !} m’_1 + \dfrac{\theta^2}{2 !} m’_2 + \cdots + \dfrac{\theta^r}{r !} m’_r + \cdots$

 この式を使えば、$\theta$について、$r$回偏微分し、$\theta = 0$とすると、$r$次のモーメントを得ることができます。

  $\displaystyle \dfrac{\partial^r M(\theta)}{\partial \theta^r} \biggm\vert_{\theta = 0} = m’_r$

参考

  横山真一郎・関哲朗・横山真弘『基礎と実践 数理統計学入門

  中村隆英『統計入門

  国沢清典・羽鳥裕久『数理統計演習

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