限界効用と限界代替率の計算例・数値例（初心者向け）

　限界効用や限界代替率について、どうも数式だけではイメージしにくいため、計算例や数値例を掲載してみました。

　分かりやすくするため、 $x$ と $y$ の2財があり、効用関数は $U(x,y)$ とします。
　その上で、効用関数 $U(x,y)$ を特定化し、限界効用・限界代替率の計算例・数値例を出したいと思います。

　なお、財 $x$ の限界効用を $MU_x$ 、財 $y$ の限界効用を $MU_y$ 、限界代替率を $MRS$ とすると、次のように表すことができます。

　　 $MU_x = \dfrac{\partial U}{\partial x}$ 　、　 $MU_y = \dfrac{\partial U}{\partial y}$ 　、　 $MRS = \dfrac{MU_x}{MU_y} = \dfrac{\partial U / \partial x}{\partial U / \partial y}$

例1

　効用関数 $U(x,y)$ が、次のような場合：

　　 $U(x,y) = x + y$

　 $U(x,y)$ を $x$ と $y$ でそれぞれ微分すると（ $x$ と $y$ でそれぞれ割り算すると）、財 $x$ の限界効用 $MU_x$ 、財 $y$ の限界効用 $MU_y$ は、

　　 $MU_x = \dfrac{\partial U}{\partial x} = 1$ 　、　 $MU_y = \dfrac{\partial U}{\partial y} = 1$

　となります。

　　そして、限界代替率 $MRS$ は、次のようになります。

　　　 $MRS = \dfrac{MU_x}{MU_y} = \dfrac{1}{1} = 1$

　　限界代替率は、財 $x$ が1単位減少したとき、効用を維持するために必要な財 $y$ の量を表します。この効用関数のもとでは、財 $x$ が1単位減少しても、財 $y$ が1単位増えれば、効用は維持されることが分かります。

例2

　効用関数 $U(x,y)$ が、次のような場合：

　　 $U(x,y) = xy$

　 $U(x,y)$ を $x$ と $y$ でそれぞれ微分すると（ $x$ と $y$ でそれぞれ割り算すると）、財 $x$ の限界効用 $MU_x$ 、財 $y$ の限界効用 $MU_y$ は、

　　 $MU_x = \dfrac{\partial U}{\partial x} = y$ 　、　 $MU_y = \dfrac{\partial U}{\partial y} = x$

　となります。
　　そして、限界代替率 $MRS$ は、次のようになります。

　　　 $MRS = \dfrac{MU_x}{MU_y} = \dfrac{y}{x}$

　　このときには、財 $x$ と財 $y$ の現在の消費量で、限界代替率 $MRS$ は変わってくることが分かります。
　　例えば、財 $y$ の消費量は財 $overline{y}$ と同じでも、 $x$ の消費量は1と100の場合では、

　　　 $MRS(x=1) = \overline{y}$ 　、　 $MRS(x=100) = \dfrac{\overline{y}}{100}$

　となり、 $x=100$ のときのほうが、少ない財 $y$ の増加で効用が維持されることが分かります。
　　言い換えれば、この効用関数では、財 $x$ の消費量が多いときは、十分に財 $x$ があるので、多少財 $x$ の消費が減っても、多く財 $y$ を増やさなくても、効用は変わらない形になっています。