限界効用や限界代替率について、どうも数式だけではイメージしにくいため、計算例や数値例を掲載してみました。
分かりやすくするため、$ x$と$ y$の2財があり、効用関数は$ U(x,y)$とします。
その上で、効用関数$ U(x,y)$を特定化し、限界効用・限界代替率の計算例・数値例を出したいと思います。
なお、財$ x$の限界効用を$ MU_x$、財$ y$の限界効用を$ MU_y$、限界代替率を$ MRS$とすると、次のように表すことができます。
$ MU_x = \dfrac{\partial U}{\partial x}$ 、 $ MU_y = \dfrac{\partial U}{\partial y}$ 、 $ MRS = \dfrac{MU_x}{MU_y} = \dfrac{\partial U / \partial x}{\partial U / \partial y}$
例1
効用関数$ U(x,y)$が、次のような場合：
$ U(x,y) = x + y$
$ U(x,y)$を$ x$と$ y$でそれぞれ微分すると（$ x$と$ y$でそれぞれ割り算すると）、財$ x$の限界効用$ MU_x$、財$ y$の限界効用$ MU_y$は、
$ MU_x = \dfrac{\partial U}{\partial x} = 1$ 、 $ MU_y = \dfrac{\partial U}{\partial y} = 1$
となります。
そして、限界代替率$ MRS$は、次のようになります。
$ MRS = \dfrac{MU_x}{MU_y} = \dfrac{1}{1} = 1$
限界代替率は、財$ x$が1単位減少したとき、効用を維持するために必要な財$ y$の量を表します。この効用関数のもとでは、財$ x$が1単位減少しても、財$ y$が1単位増えれば、効用は維持されることが分かります。
例2
効用関数$ U(x,y)$が、次のような場合：
$ U(x,y) = xy$
$ U(x,y)$を$ x$と$ y$でそれぞれ微分すると（$ x$と$ y$でそれぞれ割り算すると）、財$ x$の限界効用$ MU_x$、財$ y$の限界効用$ MU_y$は、
$ MU_x = \dfrac{\partial U}{\partial x} = y$ 、 $ MU_y = \dfrac{\partial U}{\partial y} = x$
となります。
そして、限界代替率$ MRS$は、次のようになります。
$ MRS = \dfrac{MU_x}{MU_y} = \dfrac{y}{x}$
このときには、財$ x$と財$ y$の現在の消費量で、限界代替率$ MRS$は変わってくることが分かります。
例えば、財$ y$の消費量は財$ overline{y}$と同じでも、$ x$の消費量は1と100の場合では、
$ MRS(x=1) = \overline{y}$ 、 $ MRS(x=100) = \dfrac{\overline{y}}{100}$
となり、$ x=100$のときのほうが、少ない財$ y$の増加で効用が維持されることが分かります。
言い換えれば、この効用関数では、財$ x$の消費量が多いときは、十分に財$ x$があるので、多少財$ x$の消費が減っても、多く財$ y$を増やさなくても、効用は変わらない形になっています。
例3
効用関数$ U(x,y)$が、次のような場合：
$ U(x,y) = x^2 y$
$ U(x,y)$を$ x$と$ y$でそれぞれ微分すると、財$ x$の限界効用$ MU_x$、財$ y$の限界効用$ MU_y$は、
$ MU_x = \dfrac{\partial U}{\partial x} = 2xy$ 、 $ MU_y = \dfrac{\partial U}{\partial y} = x^2$
となります。
なお、例1・例2とは異なり、効用関数において、$ x$が2乗になっているので、単なる$ x$で割り算すればいいというわけではないので、ご注意ください。
そして、限界代替率$ MRS$は、次のようになります。
$ MRS = \dfrac{MU_x}{MU_y} = \dfrac{2xy}{x^2} = \dfrac{2y}{x}$
この効用関数は、例2の効用関数$ U(x,y) = xy$よりも、$ x$が2乗されており、より$ x$の消費で効用が高まりやすい形になっています。言い換えれば、この例3の効用関数のほうのが、例2の効用関数よりも、財$ x$の消費量減少の痛みは大きい形です。
このため、限界代替率も
$ \dfrac{y}{x} \quad \lt \quad \dfrac{2y}{x}$
であり、例2よりも例3のほうが、財$ x$が1単位減少したとき、効用を維持するために必要な財$ y$の量も多くなっていることが分かります。