限界効用と限界代替率の計算例・数値例（初心者向け）

ミクロ経済学を学ぶとき、最初のほうに出てくるのが、限界効用です。ただ、数式だけの説明では初級者にとっては分かりにくいと思いますので、計算例・数値例で説明します。

　限界効用や限界代替率について、どうも数式だけではイメージしにくいため、計算例や数値例を掲載してみました。

　分かりやすくするため、 $x$ と $y$ の2財があり、効用関数は $U(x,y)$ とします。
　その上で、効用関数 $U(x,y)$ を特定化し、限界効用・限界代替率の計算例・数値例を出したいと思います。

　なお、財 $x$ の限界効用を $MU_x$ 、財 $y$ の限界効用を $MU_y$ 、限界代替率を $MRS$ とすると、次のように表すことができます。

　　 $MU_x = \dfrac{\partial U}{\partial x}$ 　、　 $MU_y = \dfrac{\partial U}{\partial y}$ 　、　 $MRS = \dfrac{MU_x}{MU_y} = \dfrac{\partial U / \partial x}{\partial U / \partial y}$

例1

　効用関数 $U(x,y)$ が、次のような場合：

　　 $U(x,y) = x + y$

　 $U(x,y)$ を $x$ と $y$ でそれぞれ微分すると（ $x$ と $y$ でそれぞれ割り算すると）、財 $x$ の限界効用 $MU_x$ 、財 $y$ の限界効用 $MU_y$ は、

　　 $MU_x = \dfrac{\partial U}{\partial x} = 1$ 　、　 $MU_y = \dfrac{\partial U}{\partial y} = 1$

　となります。

　　そして、限界代替率 $MRS$ は、次のようになります。

　　　 $MRS = \dfrac{MU_x}{MU_y} = \dfrac{1}{1} = 1$

　　限界代替率は、財 $x$ が1単位減少したとき、効用を維持するために必要な財 $y$ の量を表します。この効用関数のもとでは、財 $x$ が1単位減少しても、財 $y$ が1単位増えれば、効用は維持されることが分かります。

例2

　効用関数 $U(x,y)$ が、次のような場合：

　　 $U(x,y) = xy$

　 $U(x,y)$ を $x$ と $y$ でそれぞれ微分すると（ $x$ と $y$ でそれぞれ割り算すると）、財 $x$ の限界効用 $MU_x$ 、財 $y$ の限界効用 $MU_y$ は、

　　 $MU_x = \dfrac{\partial U}{\partial x} = y$ 　、　 $MU_y = \dfrac{\partial U}{\partial y} = x$

　となります。
　　そして、限界代替率 $MRS$ は、次のようになります。

　　　 $MRS = \dfrac{MU_x}{MU_y} = \dfrac{y}{x}$

　　このときには、財 $x$ と財 $y$ の現在の消費量で、限界代替率 $MRS$ は変わってくることが分かります。
　　例えば、財 $y$ の消費量は財 $overline{y}$ と同じでも、 $x$ の消費量は1と100の場合では、

　　　 $MRS(x=1) = \overline{y}$ 　、　 $MRS(x=100) = \dfrac{\overline{y}}{100}$

　となり、 $x=100$ のときのほうが、少ない財 $y$ の増加で効用が維持されることが分かります。
　　言い換えれば、この効用関数では、財 $x$ の消費量が多いときは、十分に財 $x$ があるので、多少財 $x$ の消費が減っても、多く財 $y$ を増やさなくても、効用は変わらない形になっています。