限界効用と限界代替率の計算例・数値例(初心者向け)

ミクロ経済学を学ぶとき、最初のほうに出てくるのが、限界効用です。ただ、数式だけの説明では初級者にとっては分かりにくいと思いますので、計算例・数値例で説明します。

 限界効用や限界代替率について、どうも数式だけではイメージしにくいため、計算例や数値例を掲載してみました。

 分かりやすくするため、xyの2財があり、効用関数はU(x,y)とします。
 その上で、効用関数U(x,y)を特定化し、限界効用・限界代替率の計算例・数値例を出したいと思います。

 なお、財xの限界効用をMU_x、財yの限界効用をMU_y、限界代替率をMRSとすると、次のように表すことができます。

  MU_x = \dfrac{\partial U}{\partial x} 、 MU_y = \dfrac{\partial U}{\partial y} 、 MRS = \dfrac{MU_x}{MU_y} = \dfrac{\partial U / \partial x}{\partial U / \partial y}

例1

 効用関数U(x,y)が、次のような場合:

  U(x,y) = x + y

 U(x,y)xyでそれぞれ微分すると(xyでそれぞれ割り算すると)、財xの限界効用MU_x、財yの限界効用MU_yは、

  MU_x = \dfrac{\partial U}{\partial x} = 1 、 MU_y = \dfrac{\partial U}{\partial y} = 1

 となります。

  そして、限界代替率MRSは、次のようになります。

   MRS = \dfrac{MU_x}{MU_y} = \dfrac{1}{1} = 1

  限界代替率は、財xが1単位減少したとき、効用を維持するために必要な財yの量を表します。この効用関数のもとでは、財xが1単位減少しても、財yが1単位増えれば、効用は維持されることが分かります。

例2

 効用関数U(x,y)が、次のような場合:

  U(x,y) = xy

 U(x,y)xyでそれぞれ微分すると(xyでそれぞれ割り算すると)、財xの限界効用MU_x、財yの限界効用MU_yは、

  MU_x = \dfrac{\partial U}{\partial x} = y 、 MU_y = \dfrac{\partial U}{\partial y} = x

 となります。
  そして、限界代替率MRSは、次のようになります。

   MRS = \dfrac{MU_x}{MU_y} = \dfrac{y}{x}

  このときには、財xと財yの現在の消費量で、限界代替率MRSは変わってくることが分かります。
  例えば、財yの消費量は財overline{y}と同じでも、xの消費量は1と100の場合では、

   MRS(x=1) = \overline{y} 、 MRS(x=100) = \dfrac{\overline{y}}{100}

 となり、x=100のときのほうが、少ない財yの増加で効用が維持されることが分かります。
  言い換えれば、この効用関数では、財xの消費量が多いときは、十分に財xがあるので、多少財xの消費が減っても、多く財yを増やさなくても、効用は変わらない形になっています。

例3

 効用関数U(x,y)が、次のような場合:

  U(x,y) = x^2 y

 U(x,y)xyでそれぞれ微分すると、財xの限界効用MU_x、財yの限界効用MU_yは、

  MU_x = \dfrac{\partial U}{\partial x} = 2xy 、 MU_y = \dfrac{\partial U}{\partial y} = x^2

 となります。

 なお、例1・例2とは異なり、効用関数において、xが2乗になっているので、単なるxで割り算すればいいというわけではないので、ご注意ください。

 そして、限界代替率MRSは、次のようになります。

  MRS = \dfrac{MU_x}{MU_y} = \dfrac{2xy}{x^2} = \dfrac{2y}{x}

 この効用関数は、例2の効用関数U(x,y) = xyよりも、xが2乗されており、よりxの消費で効用が高まりやすい形になっています。言い換えれば、この例3の効用関数のほうのが、例2の効用関数よりも、財xの消費量減少の痛みは大きい形です。

 このため、限界代替率も

  \dfrac{y}{x}  \quad \textless \quad \dfrac{2y}{x}

であり、例2よりも例3のほうが、財xが1単位減少したとき、効用を維持するために必要な財yの量も多くなっていることが分かります。

タイトルとURLをコピーしました