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投稿ミクロ経済学中級

生産者余剰の数学的な説明

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グラフなどでよく説明される生産者余剰について、生産者余剰の公式や数学的な導出方法・ポイントなどを説明します。
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はじめに

 ミクロ経済学の経済厚生における議論で、「生産者余剰」が出てきます。

 消費者余剰と一緒に説明され、よくグラフでは、消費者余剰は三角形の上部分、生産者余剰は下部分といった感じです。



 そして何となく、売上(生産量×価格)から費用を引いたものが、生産者余剰という形で理解していることが多いと思います。

 これを数学的に見ることで、逆に分かりやすくなると思うこともあると思うので、説明したいと思います。

数学的な導出方法

定義

 生産者余剰$PS$は、教科書的には回りくどい言い方をしている場合がありますが、一言でいえば、

  「企業が生産をしない状態から、財を生産したときに得られる利益の増加分」

のことです。

 企業が何もしないときと比べて、生産をしたらどれだけ儲かるかを見ていることになります。

 なお、単純に、生産量がゼロならば、利益もゼロになると思うのは早計です。なぜなら、企業には固定費用が発生していることもあり、生産量がゼロのときは、赤字になる可能性もあるからです。

 これを生産量が$x$のときの利潤関数を$\pi(x)$とすると、生産者余剰は、

  $PS = \pi(x) \; – \; \pi(0) \cdots (1)$

のように定義されます。

導出方法

 財の価格を$p$、費用関数を$C(x)$とすると、企業の利潤関数は、次のようになります(一般的な利潤関数の定式化ですね)。

  $\pi(x) = px \; – \; C(x) \cdots (2)$

 この$(2)$式をもとに、$\pi(x)$と$\pi(0)$を代入すると、

  $PS = px \; – \; C(x) + C(0) \cdots (3)$

となります。

 ここで、積分の公式を使うと、

  $\displaystyle C(x) \; – \; C(0) = \int_0^x C'(z) dz \cdots (4)$

が成立するので、この$(4)$式を、$(3)$式に代入すると、

  $\displaystyle PS = px \; – \; \int_0^x C'(z) dz \cdots (5)$

という生産者余剰の式を導出することができます。

ポイント

生産者余剰の意味

 まずは、積分の公式を用いて導出した$(4)$式ですが、$(4)$式は、次のようにも表せます。

  $\displaystyle C(x) = \int_0^x C'(z) dz + C(0)$

 ここで$C(0)$は生産量がゼロのときの費用なので、固定費用です。(数学的な意味合いからも分かるかもしれませんが)このことから、$\int_0^x C'(z) dz$は可変費用であり、正しくこの式は、

  費用 = 可変費用 + 固定費用

を表しています。

 ここで、生産者余剰の$(5)$式に戻ると、$px$は売上で、$\int_0^x C'(z) dz$は可変費用なので、

  生産者余剰 = 売上 - 可変費用

となっていることが分かります。

 すなわち、生産者余剰の定義は、上記で述べたように、

  「企業が生産をしない状態から、財を生産したときに得られる利益の増加分」

というものですが、結果としては、売上から可変費用を引けば、生産者余剰が計算できることになります。

生産者余剰の別表現

 $(5)$式に$(2)$式を代入し、$px$をキャンセルすると、

  $\displaystyle PS = \pi(x) + \; C(x) \; – \; \int_0^x C'(z) dz$

となります。ここで、$(4)$式を用いると、

  $\displaystyle PS = \pi(x) + \; C(0)$

となります。$C(0)$は固定費用であることに注意すると、

  生産者余剰 = 利潤 + 固定費用

であることが分かります。

最後に

 導出方法などを含め、説明してきましたが、以上から、生産者余剰とは、

  生産者余剰 = 生産したときの利潤 - 生産してないときの利潤

        = 売上 - 可変費用

        = 利潤 + 固定費用

ということになります。

 数学的に考えたとき、グラフ理解だけでは得られない部分について、生産者余剰を考えることができるのではないかと思います。

参考

  武隈愼一『ミクロ経済学

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