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中級

統計学における代表的な分布について

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統計学における代表的な分布について、それぞれの平均・分散なども含め、一覧を掲載しています。
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 統計学において、様々な分布があります。そして解析を行う際には、どのような代表的な分布を使うのかが、重要になります。

 そこで、統計学における代表的な一覧的に掲載しています。

 数学的な記号について、一般的なものを使っています。

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離散分布

二項分布(binomial distribution)
概要 ・ある事象が起こるか起きないかといった場合に、その起こる確率p の試行を独立にn 回繰り返したときに、起こる回数Xが従う分布。
・例えば、サイコロを10回投げたとき、1の目が出る回数の分布。
表記 B(n \, ,p)
確率変数 p(x) = Pr(X=x) = {}_n C_x p^x (1-x)^{n-x} \quad (x=0,1,\cdots,n) \; (0 \leq p \leq 1)
平均 E(X) = np
分散 V(X) = np(1-p)
ポアソン分布(Poisson distribution)
概要 ・事故数など、一定期間にある事象が起こる回数Xが従う分布。
・二項分布B(n \, ,p)において、n \rightarrow \inftyの極限分布。
表記 P(\lambda)
確率変数 \displaystyle p(x) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!} \quad (x=0,1,\cdots) \; (\lambda \textgreater 0)
平均 E(X) = \lambda
分散 V(X) = \lambda
超幾何分布(hypergeometric distribution)
概要 ・全体がN個の母集団があり、ある特性をもつものがD個あるとき、その母集団からn個取り出すとその特性をもつものの個数Xが従う分布。
・例えば、当たりくじが含まれている箱から、n個取り出したときの当たりくじの数。
表記 H(N , D , n)
確率変数 \displaystyle p(x) = \dfrac{{}_D C_x \, \cdot \, {}_{N-D} C_{n-x}}{{}_N C_n} \quad (max \{ 0, n-(N-D) \} \leq x \leq min \{ n ,D \})
平均 E(X) = \dfrac{n D}{N}
分散 V(X) = n \dfrac{D}{N} \dfrac{N-D}{N} \dfrac{N-n}{N-1}

連続分布

正規分布(normal distribution)
概要 ・釣鐘状の形をしており、最もポピュラーで、重要かつ応用性の広い分布。
表記 N(\mu , \sigma^2)
密度関数 \displaystyle f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} exp \left\{ - \dfrac{1}{2 \sigma^2} (x-\mu)^2 \right\}  \quad (-\infty \textless \, , x \, \textless \infty)
平均 E(X) = \mu
分散 V(X) = \sigma^2
標準正規分布(standard normal distribution)
概要 ・正規分布において、平均が0、分散が\sigma^2の場合。
表記 N(0 , \sigma)
密度関数 \displaystyle f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} exp \left\{ - \dfrac{x^2}{2} \right\}  \quad (-\infty \textless \, , x \, \textless \infty)
平均 E(X) = 0
分散 V(X) = 1
\chi^2分布(chi-square distribution)
概要 ・標準正規分布に従う互いに独立なn個の確率変数の2乗和の分布。
・式で表すと、標準正規分布に従う確率変数X_iについて、x = \sum_{i=1}^{n} X_i^2が従う分布。
・検定などに用いられる分布。
表記 \chi^2(x)
密度関数 \displaystyle f(x) = \dfrac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma \left( \dfrac{n}{2} \right)} x^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}} \quad (0 \textless \, , x \, \textless \infty \, , \, n \textgreater 0)
平均 E(X) = n
分散 V(X) = 2n
t分布(t distribution)
概要 ・独立なX , Yについて、Xは標準正規分布、Y\chi^2分布に従うとき、t=X/\sqrt{Y/n}が従う分布。
・検定のための分布。
表記 t(n)
密度関数 \displaystyle f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{n \pi}} \dfrac{\Gamma \left( \dfrac{n+1}{2} \right)}{\Gamma \left( \dfrac{n}{2} \right)} \left(1+ \dfrac{x^2}{n} \right)^{-\frac{n+1}{2}}  \quad (-\infty \textless \, x \, \textless \infty )
平均 E(t) =
分散 V(t) = \dfrac{n}{n-2}
F分布(F distribution)
概要 ・独立にX \, , Yが、それぞれ\chi^2分布\chi^2(m) \, , \, \chi^2(n)に従うとき、F = (X/m) / (Y/n)の分布。
・検定などに用いられる分布。
表記 F(m , n)
密度関数 \displaystyle f(x) = \dfrac{\Gamma \left( \dfrac{m+n}{2} \right) m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}}} {\Gamma \left( \dfrac{m}{2} \right) \Gamma \left( \dfrac{n}{2} \right)} \dfrac{x^{\frac{m}{2}-1}}{(mx + n)^{\frac{m+n}{2}}} \quad (0 \textless \, , x \, \textless \infty)
平均 E(X) = \dfrac{n}{n-2} \quad (n>2)
分散 V(X) = \dfrac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)} \quad (n>4)
指数分布(exponential distribution)
概要 ・ある事象が次に起こるまでの期間Xの分布。
・例えば、寿命期間や待ち行列のサービス時間などに使われる分布。
表記 E(\lambda)
密度関数 \displaystyle f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x \geq 0 \, , \, \lambda > 0)
平均 E(X) = \dfrac{1}{\lambda}
分散 V(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}
ガンマ分布(gamma distribution)
概要 Y_iが独立に指数分布に従うとき、x = \sum_{i=1}^{n}が従う分布。
・待ち時間が平均1/\lambda間隔のものがn個到着するまでの時間間隔。
表記 G(n)
密度関数 \displaystyle f(x) = \dfrac{\lambda^n}{\Gamma (n)} x^{n-1} e^{-\lambda x} \quad (x \geq 0 \, , \, n > 0 \, , \, \lambda > 0)
平均 E(X) = \dfrac{n}{\lambda}
分散 V(X) = \dfrac{n}{\lambda^2}
ワイブル分布(weibull distribution)
概要 ・機械などの故障時間のモデルに使われる分布。
・母数を変化させることで、様々なモデルで表すことができる。
表記 W(m,n)
密度関数 \displaystyle f(x) = \dfrac{m}{n} \left( \dfrac{x}{n} \right)^{m-1} e^{-\left( \frac{x}{n} \right)^m} \quad (x \geq 0 \, , \, m> 0 \, , \, m > 0)
平均 E(X) = n \Gamma \left( 1 + \dfrac{1}{m} \right)
分散 V(X) = n^2 \left[ \Gamma \left( \dfrac{2}{m} + 1\right) - \Gamma^2 \left( \dfrac{1}{m} + 1\right) \right]
一様分布(uniform distribution)
概要 ・確率変数Xが、一定のabの値域の間を均等に分布するもの。
・累乗したり、対数をとると、様々な分布に変化する。
表記 U(a,b)
密度関数 \displaystyle f(x) = \dfrac{1}{b-a} \quad (a \textless x \textless b)
平均 E(X) = \dfrac{a+b}{2}
分散 V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}
ベータ分布(beta distribution)
概要 ・独立にU(0,1)に従う\alpha + \beta -1個の確率変数について、小さいほうから\alpha番目の確率変数Xの分布。
・ガンマ関数とは、B(\alpha , \beta) = ( \Gamma(\alpha) + \Gamma(\beta)) / \Gamma(\alpha + \beta)という関係があります。
表記 B(\alpha , \beta)
密度関数 \displaystyle f(x) = \dfrac{1}{B(\alpha , \beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \quad (0 \textless x \textless 1 \, , \, \alpha , \beta > 0)
平均 E(X) = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta}
分散 V(X) = \dfrac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}
参考

  横山真一郎・関哲朗・横山真弘『基礎と実践 数理統計学入門

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