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ロイの恒等式について

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ロイの恒等式

　ロイの恒等式とは、2財 $x_i (i = 1, 2)$ について、価格を $p_i (i = 1, 2)$ とし、所得を $m$ 、間接効用関数を $V(p_1 , p_2 , m)$ 、需要関数を $D_i(p_1 , p_2 , m)$ とすると、

　　 $\displaystyle - \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m) / \partial p_i}{\partial V(p_1 , p_2 , m) / \partial m} = D_i(p_1 , p_2 , m) \quad \cdots \quad (1)$

というものです。

　すなわち、間接効用関数から需要関数を導けるというのが「ロイの恒等式」です（なお、ロワの恒等式と言われたりすることあります）。

導出方法

　導出にあたり、改めて費用最小化問題を考えます。ここで $u$ は効用関数です。

　　 $\displaystyle \min_{x_1 , x_2} p_1 x_1 + p_2 x_2$
　　 $s.t. \quad u(x_1 , x_2) = \bar{u}$

　これをラグランジュ乗数 $\lambda$ を使って、1階の条件を求めると、

　　 $\displaystyle p_i = \lambda \dfrac{\partial u(x_1 , x_2)}{\partial x_i}$
　　 $u(x_1 , x_2) = \bar{u}$

が得られ、補償需要関数 $D^u_i(p_1 , p_2 , u)$ 、補償所得関数 $E(p_1 , p_2 , u)$ が得られます。

　このとき、間接効用関数については、

　　 $u= V(p_1 , p_2 , E(p_1 , p_2 , u))$

が成り立つので、 $m = E(p_1 , p_2 , u)$ に注意し、 $p_1$ で微分すると、

　　 $\displaystyle 0 = \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m)}{\partial p_1} + \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m)}{\partial m} \dfrac{\partial E(p_1 , p_2 , u))}{\partial p_1}$

となります。

　ここで、マッケンジーの補題を使うと、

　　 $\displaystyle 0 = \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m)}{\partial p_1} + \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m)}{\partial m} D^u_1(p_1 , p_2 , u)$

となります。

　更に、 $m = E(p_1 , p_2 , u)$ 、 $D_1(p_1 , p_2 , E(p_1 , p_2 , u)) = D^u_1(p_1 , p_2 , u)$ であることから、上記の式は、

　　 $\displaystyle 0 = \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m)}{\partial p_1} + \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m)}{\partial m} D_1(p_1 , p_2 , u)$

となり、式変形すると、

　　 $\displaystyle - \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m) / \partial p_1}{\partial V(p_1 , p_2 , m) / \partial m} = D_1(p_1 , p_2 , m)$

というロイの恒等式を得ることができます。
（なお、 $p_1$ で考えましたが、当然ながら、 $p_2$ でも同じになります）

例

　効用関数を特定化した場合に、ロイの恒等式が成立していることを見てみましょう。

　効用関数を $u=2xy$ としたとき、効用最大化問題は、次のようになります。

　　 $\displaystyle \max_{x,y} 2xy$
　　 $s.t. \quad p_x x + p_y = m$

　これを解くと、需要関数は、それぞれ次のようになります（解き方は、省略します）。

　　 $x = \dfrac{m}{2p_x}$

　　 $y = \dfrac{m}{2p_y}$

　そして、これらを効用関数に代入すると、間接効用関数 $v$ は、次のようになります。

　　 $v = \dfrac{m^2}{2 p_x p_y}$

　ここで、間接効用関数について、財 $x$ の価格 $p_x$ と所得 $m$ で偏微分すると、

　　 $\displaystyle \dfrac{\partial V}{\partial p_x} = - \dfrac{m^2}{2 p_x^2 p_y}$

　　 $\displaystyle \dfrac{\partial V}{\partial m} = \dfrac{m}{p_x p_y}$

が得られます。

　そこで、ロイの恒等式を想定し、計算すると、

　　 $\displaystyle - \dfrac{\partial V / \partial p_x}{\partial V / \partial m} = - \dfrac{- m^2/2 p_x^2 p_y}{m / p_x p_y} = \dfrac{m}{2p_x}$

となり、右辺は正しく財 $x$ の需要関数となっていることが分かります。
（同様に、財 $y$ でも成立します）

　すなわち、 $(1)$ 式のロイの恒等式が成立していることが分かります。

参考

　　武隈愼一『ミクロ経済学』

　　西村和雄『ミクロ経済学』

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