スポンサーリンク
投稿ミクロ経済学中級

ロイの恒等式について

スポンサーリンク
ミクロ経済学におけるロイの恒等式について、導出方法・証明や例などを説明します。
スポンサーリンク
スポンサーリンク
スポンサーリンク

ロイの恒等式

 ロイの恒等式とは、2財x_i (i = 1, 2)について、価格をp_i (i = 1, 2)とし、所得をm、間接効用関数をV(p_1 , p_2 , m)、需要関数をD_i(p_1 , p_2 , m)とすると、

  \displaystyle - \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m) / \partial p_i}{\partial V(p_1 , p_2 , m) / \partial m} = D_i(p_1 , p_2 , m) \quad \cdots \quad (1)

というものです。

 すなわち、間接効用関数から需要関数を導けるというのが「ロイの恒等式」です(なお、ロワの恒等式と言われたりすることあります)。

導出方法

 導出にあたり、改めて費用最小化問題を考えます。ここでuは効用関数です。

  \displaystyle \min_{x_1 , x_2} p_1 x_1 + p_2 x_2
  s.t. \quad u(x_1 , x_2) = \bar{u}

 これをラグランジュ乗数\lambdaを使って、1階の条件を求めると、

  \displaystyle p_i = \lambda \dfrac{\partial u(x_1 , x_2)}{\partial x_i}
  u(x_1 , x_2) = \bar{u}

が得られ、補償需要関数D^u_i(p_1 , p_2 , u)、補償所得関数E(p_1 , p_2 , u)が得られます。

 このとき、間接効用関数については、

  u= V(p_1 , p_2 , E(p_1 , p_2 , u))

が成り立つので、m = E(p_1 , p_2 , u)に注意し、p_1で微分すると、

  \displaystyle 0 = \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m)}{\partial p_1} + \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m)}{\partial m} \dfrac{\partial E(p_1 , p_2 , u))}{\partial p_1}

となります。

 ここで、マッケンジーの補題を使うと、

  \displaystyle 0 = \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m)}{\partial p_1} + \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m)}{\partial m} D^u_1(p_1 , p_2 , u)

となります。

 更に、m = E(p_1 , p_2 , u)D_1(p_1 , p_2 , E(p_1 , p_2 , u)) = D^u_1(p_1 , p_2 , u)であることから、上記の式は、

  \displaystyle 0 = \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m)}{\partial p_1} + \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m)}{\partial m} D_1(p_1 , p_2 , u)

となり、式変形すると、

  \displaystyle - \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m) / \partial p_1}{\partial V(p_1 , p_2 , m) / \partial m} = D_1(p_1 , p_2 , m)

というロイの恒等式を得ることができます。
(なお、p_1で考えましたが、当然ながら、p_2でも同じになります)

 効用関数を特定化した場合に、ロイの恒等式が成立していることを見てみましょう。

 効用関数をu=2xyとしたとき、効用最大化問題は、次のようになります。

  \displaystyle \max_{x,y} 2xy
  s.t. \quad p_x x + p_y = m

 これを解くと、需要関数は、それぞれ次のようになります(解き方は、省略します)。

  x = \dfrac{m}{2p_x}

  y = \dfrac{m}{2p_y}

 そして、これらを効用関数に代入すると、間接効用関数vは、次のようになります。

  v = \dfrac{m^2}{2 p_x p_y}

 ここで、間接効用関数について、財xの価格p_xと所得mで偏微分すると、

  \displaystyle \dfrac{\partial V}{\partial p_x} = - \dfrac{m^2}{2 p_x^2 p_y}

  \displaystyle \dfrac{\partial V}{\partial m} = \dfrac{m}{p_x p_y}

が得られます。

 そこで、ロイの恒等式を想定し、計算すると、

  \displaystyle - \dfrac{\partial V / \partial p_x}{\partial V / \partial m} = - \dfrac{- m^2/2 p_x^2 p_y}{m / p_x p_y} = \dfrac{m}{2p_x}

となり、右辺は正しく財xの需要関数となっていることが分かります。
(同様に、財yでも成立します)

 すなわち、(1)式のロイの恒等式が成立していることが分かります。

参考

  武隈愼一『ミクロ経済学

  西村和雄『ミクロ経済学

スポンサーリンク
タイトルとURLをコピーしました