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投稿ミクロ経済学中級

ロイの恒等式について

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ミクロ経済学におけるロイの恒等式について、導出方法・証明や例などを説明します。
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ロイの恒等式

 ロイの恒等式とは、2財$ x_i (i = 1, 2)$について、価格を$ p_i (i = 1, 2)$とし、所得を$ m$、間接効用関数を$ V(p_1 , p_2 , m)$、需要関数を$ D_i(p_1 , p_2 , m)$とすると、

  $ \displaystyle – \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m) / \partial p_i}{\partial V(p_1 , p_2 , m) / \partial m} = D_i(p_1 , p_2 , m) \quad \cdots \quad (1)$

というものです。

 すなわち、間接効用関数から需要関数を導けるというのが「ロイの恒等式」です(なお、ロワの恒等式と言われたりすることあります)。

導出方法

 導出にあたり、改めて費用最小化問題を考えます。ここで$ u$は効用関数です。

  $ \displaystyle \min_{x_1 , x_2} p_1 x_1 + p_2 x_2$
  $ s.t. \quad u(x_1 , x_2) = \bar{u}$

 これをラグランジュ乗数$ \lambda$を使って、1階の条件を求めると、

  $ \displaystyle p_i = \lambda \dfrac{\partial u(x_1 , x_2)}{\partial x_i}$
  $ u(x_1 , x_2) = \bar{u}$

が得られ、補償需要関数$ D^u_i(p_1 , p_2 , u)$、補償所得関数$ E(p_1 , p_2 , u)$が得られます。

 このとき、間接効用関数については、

  $ u= V(p_1 , p_2 , E(p_1 , p_2 , u))$

が成り立つので、$ m = E(p_1 , p_2 , u)$に注意し、$ p_1$で微分すると、

  $ \displaystyle 0 = \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m)}{\partial p_1} + \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m)}{\partial m} \dfrac{\partial E(p_1 , p_2 , u))}{\partial p_1}$

となります。

 ここで、マッケンジーの補題を使うと、

  $ \displaystyle 0 = \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m)}{\partial p_1} + \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m)}{\partial m} D^u_1(p_1 , p_2 , u)$

となります。

 更に、$ m = E(p_1 , p_2 , u)$、$ D_1(p_1 , p_2 , E(p_1 , p_2 , u)) = D^u_1(p_1 , p_2 , u)$であることから、上記の式は、

  $ \displaystyle 0 = \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m)}{\partial p_1} + \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m)}{\partial m} D_1(p_1 , p_2 , u)$

となり、式変形すると、

  $ \displaystyle – \dfrac{\partial V(p_1 , p_2 , m) / \partial p_1}{\partial V(p_1 , p_2 , m) / \partial m} = D_1(p_1 , p_2 , m)$

というロイの恒等式を得ることができます。
(なお、$ p_1$で考えましたが、当然ながら、$ p_2$でも同じになります)

 効用関数を特定化した場合に、ロイの恒等式が成立していることを見てみましょう。

 効用関数を$ u=2xy$としたとき、効用最大化問題は、次のようになります。

  $ \displaystyle \max_{x,y} 2xy$
  $ s.t. \quad p_x x + p_y = m$

 これを解くと、需要関数は、それぞれ次のようになります(解き方は、省略します)。

  $ x = \dfrac{m}{2p_x}$

  $ y = \dfrac{m}{2p_y}$

 そして、これらを効用関数に代入すると、間接効用関数$ v$は、次のようになります。

  $ v = \dfrac{m^2}{2 p_x p_y}$

 ここで、間接効用関数について、財$ x$の価格$ p_x$と所得$ m$で偏微分すると、

  $ \displaystyle \dfrac{\partial V}{\partial p_x} = – \dfrac{m^2}{2 p_x^2 p_y}$

  $ \displaystyle \dfrac{\partial V}{\partial m} = \dfrac{m}{p_x p_y}$

が得られます。

 そこで、ロイの恒等式を想定し、計算すると、

  $ \displaystyle – \dfrac{\partial V / \partial p_x}{\partial V / \partial m} = – \dfrac{- m^2/2 p_x^2 p_y}{m / p_x p_y} = \dfrac{m}{2p_x}$

となり、右辺は正しく財$ x$の需要関数となっていることが分かります。
(同様に、財$ y$でも成立します)

 すなわち、$ (1)$式のロイの恒等式が成立していることが分かります。

参考

  武隈愼一『ミクロ経済学

  西村和雄『ミクロ経済学

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