ミクロ経済学における辞書式順序について

はじめに

　ミクロ経済学における消費者の選好について、いくつかの仮定が置かれます。

　しかし、その際に、

　　「選好について、辞書式順序は採用されない」

　　「辞書式順序だと、連続性の仮定が満たされない」

という話が出てきたりします。

　ただ何となく、言葉自体が難しい言い回しで、イメージがつかない感じがするのではと思います。

　そこで、辞書式順序について、例を挙げて説明するとともに、なぜ連続性の仮定が満たされないかを説明します。

　辞書式順序の説明をするにあたり、まずは選好について、定義をしておきます。

　　xのほうがyよりも好ましいとき　x > y

　　xとyが無差別のとき　x = y

　このとき、辞書式順序とは、2つの点（x* , y*）と（x1 , y1）があるとき、次のように、選好が決まるものです。

　　①　x1 > x* ならば、（x1 , y1） > （x* , y*）

　　②　x1 = x* ならば、（x1 , y1） > （x* , y*）

　これではイメージがしにくいと思うので、会社の採用を例として考えましょう。

　採用にあたっては、試験と面接で、その会社は応募者を採用するかどうかを決めるとします。
　このとき、面接で点数がより高かった者は試験の点数とは無関係に採用し、面接の点数が同じである者は、試験の点数で選ぶというのが、辞書式順序となります。

　具体的な数字例で考えましょう。
　応募者がA～Cの3名おり、2名だけ採用するものとします。このとき、面接と試験の点数は、次表のような結果になったとします。

　面接と試験の点数で、応募者を順序づけると、次のようになります。

　　面接：応募者A > 応募者B = 応募者C

　　試験：応募者B > 応募者C > 応募者A

　上記のルールを考えると、

　　・試験の点数に関係なく、面接の点数が重要視されるので、応募者Aが採用

　　・面接の点数が同じ場合には、試験の点数で比較するので、応募者Bが採用

となります。

　辞書式順序の場合には、連続性の仮定が満たされないと言われます。

　連続性の仮定とは、集合$u(\textbf{x}) \, , \, v(\textbf{x})$について、共に閉集合であるというものです。
　そして、閉集合とは、境界線がある状態のことです（ちなみに、境界線がない場合は、開集合と言います）。

　ここで、上記の辞書式順序に基づいて、グラフで集合を見ていきましょう。

　まず、1つ目のルール

　　①　x1 > x* ならば、（x1 , y1） > （x* , y*）

について、グラフにすると、次のようになります。x*の右側の灰色部分が（yに関係なく）すべて選好されます。

　次に、2つ目のルール

　　②　x1 = x* ならば、（x1 , y1） > （x* , y*）

について、グラフにすると、次のようになります。x*とx1が等しいときには、yの値で決まるので、y*よりも高い太線部分が選好されます。

　そして、この2つのルールをまとめると、次のようなグラフになり、辞書式順序のもとでは、灰色部分と太線部分が選好されます。

　グラフから明らかなように、x*における線について、境界線がない点線があり、辞書式順序のもとでは、閉集合とはならないことが分かります。

　経済学的には、辞書式順序の話は、選好の仮定に関する部分で登場するくらいで、他ではあまり出てこないので、あまり重要ではないかもしれません。

　ただ、何となく気になるけど、よく分からないという方のために、参考になればと思います。

　　奥野正寛（編著）『ミクロ経済学』

　　西村和雄『ミクロ経済学』