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ミクロ経済学における辞書式順序について

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投稿ミクロ経済学初級
ミクロ経済学の消費者行動における辞書式順序とはどのようなものなのか、選好の仮定がなぜ満たされないのかを説明します。
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はじめに

 ミクロ経済学における消費者の選好について、いくつかの仮定が置かれます。

 しかし、その際に、

  「選好について、辞書式順序は採用されない」

  「辞書式順序だと、連続性の仮定が満たされない」

という話が出てきたりします。

 ただ何となく、言葉自体が難しい言い回しで、イメージがつかない感じがするのではと思います。

 そこで、辞書式順序について、例を挙げて説明するとともに、なぜ連続性の仮定が満たされないかを説明します。

辞書式順序

 辞書式順序の説明をするにあたり、まずは選好について、定義をしておきます。

  xのほうがyよりも好ましいとき x > y

  xとyが無差別のとき x = y

 このとき、辞書式順序とは、2つの点(x* , y*)と(x1 , y1)があるとき、次のように、選好が決まるものです。

  ① x1 > x* ならば、(x1 , y1) > (x* , y*)

  ② x1 = x* ならば、(x1 , y1) > (x* , y*)

 これではイメージがしにくいと思うので、会社の採用を例として考えましょう。

 採用にあたっては、試験と面接で、その会社は応募者を採用するかどうかを決めるとします。
 このとき、面接で点数がより高かった者は試験の点数とは無関係に採用し、面接の点数が同じである者は、試験の点数で選ぶというのが、辞書式順序となります。

 具体的な数字例で考えましょう。
 応募者がA~Cの3名おり、2名だけ採用するものとします。このとき、面接と試験の点数は、次表のような結果になったとします。

面接の点数試験の点数
応募者A8030
応募者B5070
応募者C5040

 面接と試験の点数で、応募者を順序づけると、次のようになります。

  面接:応募者A > 応募者B = 応募者C

  試験:応募者B > 応募者C > 応募者A

 上記のルールを考えると、

  ・試験の点数に関係なく、面接の点数が重要視されるので、応募者Aが採用

  ・面接の点数が同じ場合には、試験の点数で比較するので、応募者Bが採用

となります。

連続性の仮定について

 辞書式順序の場合には、連続性の仮定が満たされないと言われます。

 連続性の仮定とは、集合$u(\textbf{x}) \, , \, v(\textbf{x})$について、共に閉集合であるというものです。
 そして、閉集合とは、境界線がある状態のことです(ちなみに、境界線がない場合は、開集合と言います)。

 ここで、上記の辞書式順序に基づいて、グラフで集合を見ていきましょう。

 まず、1つ目のルール

  ① x1 > x* ならば、(x1 , y1) > (x* , y*)

について、グラフにすると、次のようになります。x*の右側の灰色部分が(yに関係なく)すべて選好されます。


 次に、2つ目のルール

  ② x1 = x* ならば、(x1 , y1) > (x* , y*)

について、グラフにすると、次のようになります。x*とx1が等しいときには、yの値で決まるので、y*よりも高い太線部分が選好されます。


 そして、この2つのルールをまとめると、次のようなグラフになり、辞書式順序のもとでは、灰色部分と太線部分が選好されます。

 グラフから明らかなように、x*における線について、境界線がない点線があり、辞書式順序のもとでは、閉集合とはならないことが分かります。


最後に

 経済学的には、辞書式順序の話は、選好の仮定に関する部分で登場するくらいで、他ではあまり出てこないので、あまり重要ではないかもしれません。

 ただ、何となく気になるけど、よく分からないという方のために、参考になればと思います。

参考

  奥野正寛(編著)『ミクロ経済学

  西村和雄『ミクロ経済学

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