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投稿ミクロ経済学初級

完全競争における企業行動の基本モデルとその性質(数式)

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ミクロ経済学における完全競争における企業行動の基本モデルとその性質について、数式で説明しています。
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はじめに

 ミクロ経済学において、消費者行動の次に出てくるのが、企業行動(生産者行動)の分析だと思います。

 完全競争下で、企業はプライステイカーとして、どのように行動するかを見ていくことになります。

 ただ、教科書的にはグラフが出てきて、逆に分かりにくい面があるようにも思います。

 そこで、ここでは、企業行動の基本モデルについて、数式だけで説明します。

モデル

 完全競争市場において、企業は価格$p$のもと、費用関数$C(x)$で財を$x$生産するものとします。
 この企業の利潤関数を$\pi$とすると、企業は

  $\pi = px \; – \; C(x) \cdots (1)$

を最適化することになります。

 そこで、この式について、$x$で微分すると、

  $\displaystyle \dfrac{d \pi}{d x} = p \; – \; C'(x) = 0$

から、次を得ることができます。

  $p = C'(x) \cdots (2)$

性質

 上記のモデルから、完全競争下の企業行動としては、次のような性質があることが分かります。

命題1
 $(2)$式において、$C'(x)$は限界費用なので、

  「企業が利潤最大化を行うとき、限界費用と価格が等しくなるような生産量を選ぶ」

となります。

命題2
 この企業について、平均費用$C(x) / x$を考えます。
 平均費用が最低となる水準を見るため、平均費用を生産量$X$で微分すると、

  $\displaystyle \dfrac{d (C(x) / x)}{d x} = \dfrac{C'(x) x \;- \; C(x)}{x^2} = 0$

が得られ、式変形すると

  $\displaystyle C'(x) = \dfrac{C(x)}{x}$

となります。$C'(x)$は限界費用、$C(x) / x$は平均費用なので、

  「限界費用と平均費用の最低点は一致する」

もしくは、

  「平均費用曲線の最低点を限界費用は通過する」

となります。

命題3
 固定費用があるときには、生産を行っても固定費用を回収できなければ、企業は生産を行いません。言い換えれば、固定費用以上に利益をあげることが、企業にとって、生産を行うことの条件となります。

 固定費用は生産を行っていないときの費用で、$C(0)$となることに注意すると、

  $\pi(x) \; – \; C(0) \geq 0$

が生産を行うための条件となります(なお、$\pi(0) = \; – \; C(0)$でもあります)。

 この式を解くため、$(1)$式を使うと、

  $\pi(x) \; – \; C(0) = px \; – \; C(x) \; – \; C(0) \geq 0$

であり、価格$p$について解くと、

  $\displaystyle p \geq \dfrac{C(x) \; – \; C(0)}{x}$

が得られます。

 ここで、$C(x) \; – \; C(0)$は総費用から固定費用を除いたものなので可変費用であり、更に生産量$x$で割っているので、この式の右辺は平均可変費用であることが分かります。

 すなわち、

  「価格が平均可変費用以上のとき、企業は生産を行い、それよりも価格が低いときには生産を行わない」

となります。

命題4
 $(2)$式から、生産量と価格の関係の式が得られるので、$(2)$を$x$で解いたときの関数を$S(p)$とすれば、

  $x = S(p)$

となり、企業の供給曲線を得ることができます。

 そして、命題3を考えると、

  「企業の供給曲線は、平均可変費用以上の限界費用曲線である」

となります。

 なお、供給曲線について、平均可変費用に等しいときの価格を$p^*$とし、改めて数式で表せば、

  $\begin{equation}
x =
\begin{cases}
S(p) & p \geq p^*のとき \\
0 & p < p^*のとき
\end{cases}
\end{equation}$

となります。

参考

  武隈愼一『ミクロ経済学

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